中文（繁體）
中文（简体）
English
A-Level 数学 9709 Paper 1（纯数 Pure 1・10 题・100 分・60 分钟）
练习卷 · A-Level Maths 9709 Paper 1
A-Level 数学 9709 Paper 1 Pure 1 练习卷（10 题・100 分・60 分钟）：配方法与二次方程、直线与垂直平分线、扇形弧长与弓形面积、二项式展开与系数、三角方程与倍角、微分驻点与切线、定积分求面积、等差等比数列、反函数与绝对值不等式、圆方程与切线。
卷面资料 年级：A-Level ｜ 科目：数学 ｜ 时限：60 分钟 ｜ 总分：100 分 ｜ 题数：10
甲部 代数、坐标与三角（46 分）
第 1–2 题
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | 1. 设 f(x) = 2x² − 8x + 5。 (a) 以配方法把 f(x) 写成 a(x − b)² + c 的形式。(3 分) (b) 由此写出曲线 y = f(x) 的顶点坐标及 f 的值域。(2 分) (c) 解方程 f(x) = 0，答案以最简根式表示。(3 分) |
(a) f(x) = 2(x² − 4x) + 5 = 2[(x − 2)² − 4] + 5 = 2(x − 2)² − 3。 （3 分：抽系数 1 分、完成平方 1 分、常数项 1 分） (b) 顶点 (2, −3)；值域 f(x) ≥ −3。（2 分） (c) 2(x − 2)² = 3 ⇒ (x − 2)² = 3/2 ⇒ x = 2 ± √(3/2) = 2 ± √6⁄2，即 x ≈ 3.2247 或 0.7753。（3 分） 评分要点：只写顶点而无配方过程最多 1 分；根式未化简（如 √1.5）扣 1 分；漏“±”不给分。 |
| 2 | 2. 已知 A(1, 2)、B(7, 10)。 (a) 求 AB 的长度。(2 分) (b) 求 AB 的中点 M 的坐标。(1 分) (c) 求 AB 的垂直平分线方程，答案以 ax + by = c 表示。(4 分) (d) 求该垂直平分线与 x 轴的交点。(2 分) |
(a) AB = √[(7 − 1)² + (10 − 2)²] = √(36 + 64) = √100 = 10。（2 分） (b) M = ((1 + 7)/2, (2 + 10)/2) = (4, 6)。（1 分） (c) AB 斜率 = 8/6 = 4/3，故垂直平分线斜率 = −3/4。过 (4, 6)：y − 6 = −3/4(x − 4) ⇒ 4y − 24 = −3x + 12 ⇒ 3x + 4y = 36。（4 分：斜率 2 分、点斜式 1 分、整理 1 分） (d) 令 y = 0，3x = 36 ⇒ x = 12，交点 (12, 0)。（2 分） 评分要点：用错斜率（直接取 4/3）即 (c)(d) 全错；垂直条件必须明写 m₁m₂ = −1。 |
第 3–4 题
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 3 | 3. 扇形 OAB 的半径为 9 cm，圆心角 ∠AOB = 1.2 rad。 (a) 求弧 AB 的长度。(2 分) (b) 求扇形的周界。(2 分) (c) 求扇形的面积。(2 分) (d) 求由弦 AB 与弧 AB 围成的弓形面积，答案准确至 3 位小数。(4 分) |
(a) 弧长 = rθ = 9 × 1.2 = 10.8 cm。（2 分） (b) 周界 = 2r + 弧长 = 18 + 10.8 = 28.8 cm。（2 分） (c) 面积 = ½r²θ = 0.5 × 81 × 1.2 = 48.6 cm²。（2 分） (d) 三角形 OAB 面积 = ½r²sinθ = 0.5 × 81 × sin 1.2 ≈ 37.7476 cm²。 弓形 = 48.6 − 37.7476 ≈ 10.852 cm²。（4 分：三角形公式 2 分、相减 1 分、单位及舍入 1 分） 评分要点：角必须用弧度；若误把 1.2 rad 当 1.2° 只给公式分。 |
| 4 | 4. (a) 展开 (3 − 2x)⁵，直至 x³ 项。(4 分) (b) 由此求 (3 − 2x)⁵(1 + x) 中 x² 的系数。(3 分) (c) 以 x = 0.1 代入 (a) 的展开式（取至 x³ 项），求 (3 − 2x)⁵ 的近似值，并与真值比较。(2 分) |
(a) (3 − 2x)⁵ = 243 + 5(3⁴)(−2x) + 10(3³)(−2x)² + 10(3²)(−2x)³ + … = 243 − 810x + 1080x² − 720x³ + …（4 分：每项 1 分） (b) x² 系数 = 1080（来自 (3−2x)⁵ 的 x² 项）+ (−810)（来自 x¹ 项乘 x）= 270。（3 分） (c) 代 x = 0.1：243 − 81 + 10.8 − 0.72 = 172.08；真值 2.8⁵ = 172.10368， 误差约 0.0237，因已舍去 x⁴、x⁵ 项。（2 分） 评分要点：二项系数必须由 ⁿCᵣ 得出；忘记 (−2x) 的负号与 2 的次方为最常见错误。 |
第 5 题
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 5 | 5. (a) 证明 3sin²θ − 2cosθ − 2 = 0 可化为 3cos²θ + 2cosθ − 1 = 0。(3 分) (b) 解方程 3sin²θ − 2cosθ − 2 = 0，其中 0° ≤ θ < 360°。(5 分) (c) 由此解 3sin²2x − 2cos2x − 2 = 0，其中 0° ≤ x < 180°。(2 分) |
(a) 用 sin²θ = 1 − cos²θ：3(1 − cos²θ) − 2cosθ − 2 = 0 ⇒ 3 − 3cos²θ − 2cosθ − 2 = 0 ⇒ −3cos²θ − 2cosθ + 1 = 0 ⇒ 3cos²θ + 2cosθ − 1 = 0。（3 分） (b) (3cosθ − 1)(cosθ + 1) = 0 ⇒ cosθ = 1/3 或 cosθ = −1。 cosθ = 1/3 ⇒ θ ≈ 70.5° 或 289.5°；cosθ = −1 ⇒ θ = 180°。（5 分） (c) 2x ≈ 70.5°、180°、289.5° ⇒ x ≈ 35.3°、90°、144.7°。（2 分） 评分要点：只写 180° 一个解最多 2 分；必须处理 cosθ = −1 的特殊情形。 |
乙部 微积分、数列与圆（54 分）
第 6–7 题
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 6 | 6. 曲线 C 的方程为 y = x³ − 6x² + 9x + 2。 (a) 求 dy/dx。(2 分) (b) 求 C 的驻点坐标。(4 分) (c) 判断各驻点的性质。(3 分) (d) 求 C 在 x = 2 处的切线方程。(2 分) |
(a) dy/dx = 3x² − 12x + 9。（2 分） (b) 3x² − 12x + 9 = 0 ⇒ x² − 4x + 3 = 0 ⇒ (x − 1)(x − 3) = 0 ⇒ x = 1 或 3。 x = 1 时 y = 6；x = 3 时 y = 2。驻点为 (1, 6) 与 (3, 2)。（4 分） (c) d²y/dx² = 6x − 12。x = 1 时为 −6 < 0，故 (1, 6) 为极大点； x = 3 时为 +6 > 0，故 (3, 2) 为极小点。（3 分） (d) x = 2 时 y = 4、斜率 = -3；y − 4 = -3(x − 2) ⇒ y = −3x + 10。（2 分） 评分要点：只求 x 值而未给 y 坐标扣 2 分；性质判断须用二阶导数或符号表，不可只写“最高／最低”。 |
| 7 | 7. (a) 求 ∫(6x² − 4x + 3) dx。(3 分) (b) 求曲线 y = 6x² − 4x + 3 与 x 轴、x = 0 及 x = 2 所围成的面积。(4 分) (c) 求曲线 y = 6x² − 4x + 3 与直线 y = 2x + 3 在 x = 0 至 x = 2 之间所围成的面积。(3 分) |
(a) ∫(6x² − 4x + 3) dx = 2x³ − 2x² + 3x + C。（3 分：每项 1 分，含 +C） (b) 面积 = [2x³ − 2x² + 3x]₀² = (16 − 8 + 6) − 0 = 14 平方单位。（4 分） (c) 曲线 − 直线 = 6x² − 6x，面积 = ∫₀²(6x² − 6x) dx = [2x³ − 3x²]₀² = 16 − 12 = 4 平方单位。（3 分） 评分要点：面积须为正，若积出负值要取绝对值；未写上下限代入过程扣 1 分。 |
第 8–10 题
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 8 | 8. 等差数列的首项为 7，公差为 3。 (a) 求第 20 项。(2 分) (b) 求首 20 项之和。(2 分) 等比数列的首项为 8，公比为 3/4。 (c) 求该等比数列至无穷项之和。(3 分) (d) 求最小的 n 使首 n 项之和超过 30。(4 分) |
(a) u₂₀ = 7 + 19 × 3 = 64。（2 分） (b) S₂₀ = 20/2 × (7 + 64) = 710。（2 分） (c) S∞ = a/(1 − r) = 8/(1 − 3/4) = 32。（3 分） (d) Sₙ = 32[1 − (3/4)ⁿ] > 30 ⇒ (3/4)ⁿ < 1/16 ⇒ n > ln(1/16)/ln(3/4) ≈ 9.64 ⇒ n = 10。 验算：S₉ ≈ 29.597 ≤ 30，S₁₀ ≈ 30.198 > 30。（4 分） 评分要点：(d) 必须以不等式求解并验算两边，只写“n = 10”无过程最多 2 分。 |
| 9 | 9. 设 f(x) = x² − 4x + 7，其中 x ≥ 2。 (a) 求 f⁻¹(x)，并写出其定义域。(4 分) (b) 解 |2x − 5| = x + 1。(4 分) (c) 解不等式 |2x − 5| < x + 1。(4 分) |
(a) y = (x − 2)² + 3 ⇒ (x − 2)² = y − 3 ⇒ x = 2 + √(y − 3)（取正根因 x ≥ 2）。 故 f⁻¹(x) = 2 + √(x − 3)，定义域 x ≥ 3。（4 分：配方 1 分、取正根理由 1 分、式 1 分、定义域 1 分） (b) 2x − 5 = x + 1 ⇒ x = 6；2x − 5 = −(x + 1) ⇒ 3x = 4 ⇒ x = 4/3。 两者皆合（x = 6 时 7 = 7；x = 4/3 时 7/3 = 7/3）。（4 分） (c) 需 x + 1 > 0，且 −(x + 1) < 2x − 5 < x + 1。 右边给 x < 6；左边给 3x > 4 即 x > 4/3。故 4/3 < x < 6。（4 分） 评分要点：(b) 漏第二个情形（绝对值等于负）最多 2 分；(c) 必须处理 x + 1 > 0 的隐含条件。 |
| 10 | 10. 圆 C 的方程为 x² + y² − 6x + 8y − 24 = 0。 (a) 求 C 的圆心及半径。(3 分) (b) 证明直线 y = 2x − 1 与 C 相交于两相异点，并写出相交条件所对应的二次方程。(3 分) (c) 已知点 P(3, 3) 在 C 上，求 C 在 P 处的切线方程。(4 分) |
(a) (x − 3)² + (y + 4)² = 24 + 9 + 16 = 49 ⇒ 圆心 (3, −4)、半径 7。（3 分） (b) 代入 y = 2x − 1：(x − 3)² + (2x + 3)² = 49 ⇒ 5x² + 6x + 18 − 49 = 0 ⇒ 5x² + 6x − 31 = 0。 判别式 = 6² − 4(5)(−31) = 656 > 0，故有两相异交点。（3 分） (c) 由圆心 (3, −4) 到 P(3, 3) 的半径为铅直线（x = 3），故切线为水平线，即 y = 3。（4 分） 评分要点：(a) 必须完成平方，(b) 必须交代判别式 > 0 的结论，只写方程不给分。 |
TutorZone 练习卷｜题目与文章为原创，并非任何学校或出版社的教材。
