DSE 数学（必修部分）练习卷：统计、概率与数列（12 题・50 分・75 分钟）

练习卷 · DSE 数学统计概率全卷

DSE 数学（必修部分）练习卷：12 题原创题目、50 分、75 分钟，涵盖平均数与中位数、标准差、组合、等差与等比数列、z 分数、独立事件、分组数据、两枚骰子的概率、储蓄增长与变异系数，每题附完整步骤与评分要点。适合中六学生准备校内试与文凭试。

卷面资料　年级：中六（S6）　｜　科目：数学　｜　时限：75 分钟　｜　总分：50 分　｜　题数：12

甲部（第 1 至 6 题，每题 2 分，共 12 分）

写出算式与数值；答案为分数时保留分数形式，并在需要时注明单位。

#	题目	答案与评分要点
1	六名学生的得分为 12、15、15、18、21、27。求该组分数的平均数及中位数。	总和 = 108，平均数 = 108 ÷ 6 = 18.00。排序后为 12、15、15、18、21、27，中位数 = (15 + 18) ÷ 2 = 16.50。〔平均数 1 分、中位数 1 分〕
2	一个袋内有 5 个红球、3 个蓝球及 4 个绿球。随机抽出一个球，求它不是红球的概率。	球总数 = 12，非红球有 7 个，概率 = 7/12 ≈ 0.583。〔分子分母各 1 分〕
3	从 7 名学生中选出 3 人组成委员会，共有多少种选法？	由组合公式，C(7, 3) = 7 × 6 × 5 ÷ (3 × 2 × 1) = 35 种。〔列式 1 分、答案 1 分〕
4	对数据 2、4、4、4、5、5、7、9，求平均数、方差及标准差。	平均数 = 8 项之和 ÷ 8 = 5.00；离差平方和 = 32.0，方差 = 32.0 ÷ 8 = 4.00；标准差 = √4.00 = 2.00。
5	一个等差数列的首项为 7，公差为 5。求第 20 项及首 20 项之和。	第 20 项 T(20) = 7 + (20 − 1) × 5 = 102；首 20 项之和 S(20) = 20 ÷ 2 × (7 + 102) = 1090。〔各 1 分，列式另计〕
6	一个等比数列的首三项为 3、6、12。求首 10 项之和。	首项 a = 3，公比 r = 2；S(10) = 3 × (2^10 − 1) ÷ (2 − 1) = 3069。〔指出公比 1 分、代入求和公式 1 分〕

列出所有步骤；只写答案而不给步骤，最多得一半分。

#	题目	答案与评分要点
7	某测验的平均分为 60，标准差为 12。求 78 分及 45 分各自的 z 分数，并解释 78 分的 z 分数。	z(78) = (78 − 60) ÷ 12 = 1.50；z(45) = (45 − 60) ÷ 12 = -1.25。78 分高于平均 1.50 个标准差，属高于平均的表现。〔算式 2 分、两个 z 分数 1 分、解释 1 分〕
8	设 A 与 B 为独立事件，P(A) = 0.6，P(B) = 0.5。求 P(A 且 B)、P(A 或 B) 及 P(A \| B)。	P(A 且 B) = 0.6 × 0.5 = 0.30；P(A 或 B) = 0.6 + 0.5 − 0.30 = 0.80；P(A \| B) = 0.30 ÷ 0.5 = 0.60。〔每项 1 分，末项须写条件概率公式 1 分〕
9	下表为 30 名学生的得分分布。计算该组数据的平均数（取二位小数），并写出众数组及中位数组。（0 至 10 分以下：4 人；10 至 20 分以下：6 人；20 至 30 分以下：10 人；30 至 40 分以下：8 人；40 至 50 分以下：2 人）	组中点为 5、15、25、35、45；Σf = 30，Σfx = 730，平均数 = 730 ÷ 30 ≈ 24.33。众数组为 20 至 30 分以下（频数 10 最高）。累积频数为 4、10、20、28、30，第 15.5 个数据落在 20 至 30 分以下，故中位数组亦为该组。

先计算，后解释；解释须用完整句子，并引用题目提供的数据。

#	题目	答案与评分要点
10	掷两枚公平骰子。设随机变数 X 为两枚骰子的点数和。(a) 求 P(X = 8)。(b) 求 P(X = 8 或 X = 12)。(c) 已知 X 为偶数，求 P(X = 8)。(d) 若掷该对骰子 3 次，求至少一次 X = 8 的概率。	样本空间共 36 个结果。(a) 点数和为 8 有 5 个结果，P(X = 8) = 5/36 ≈ 0.139。(b) 点数和为 12 只有 1 个结果，P = 5/36 + 1/36 = 6/36 = 1/6。(c) 偶数和的结果共 18 个，故 P(X = 8 \| X 为偶数) = 5/18 = 5/18。(d) 3 次皆非 8 的概率 = (31/36)^3，故至少一次为 1 − (31/36)^3 ≈ 0.3615。
11	某学生第一年储蓄 12,000 元，其后每年比上一年增加 8%。(a) 求第 5 年的储蓄额。(b) 求首 10 年的储蓄总和。(c) 若储蓄无限期持续，总和是否会收敛？试解释。	(a) 第 5 年 = 12,000 × 1.08^4 ≈ 16325.87 元。(b) 首 10 年总和 = 12,000 × (1.08^10 − 1) ÷ 0.08 ≈ 173838.75 元。(c) 不收敛：公比 1.08 大于 1，每年的储蓄额持续增加，部分和无上界。
12	甲班 40 人的平均分为 68，标准差为 8；乙班 25 人的平均分为 62，标准差为 5。(a) 求全级 65 人的平均分。(b) 求两班各自的变异系数。(c) 哪一班成绩较稳定？试解释。	(a) 全级平均 = (68 × 40 + 62 × 25) ÷ 65 ≈ 65.69 分。(b) 甲班变异系数 = 8 ÷ 68 ≈ 0.1176；乙班 = 5 ÷ 62 ≈ 0.0806。(c) 乙班变异系数较小，相对离散程度较低，成绩较稳定；惟其平均分较甲班低。

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