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IB 数学 AA SL Paper 1 操卷模拟卷｜无计算机 10 题 100 分
练习卷 · IB 数学 AA SL
IB 数学 AA SL Paper 1 操卷模拟卷：指数与对数方程、复合函数与反函数、配方法与二次方程、等比数列与无限项之和、二项式定理系数、余弦定理与三角形面积、微分求驻点与切线、定积分与曲线间面积、向量点积与夹角、条件几率与标准差，共 10 题 100 分 90 分钟，全程不许用计算机，附完整答案与评分要点。
卷面资料 年级：中五至中六（S5-S6） ｜ 科目：数学 ｜ 时限：90 分钟 ｜ 总分：100 分 ｜ 题数：10
甲部：指数、对数与函数（第 1–3 题，30 分）
全部题目必答。不许使用计算机。答案须写出完整步骤，只写答案不给分。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | (a) 解方程 3^(2x−1) = 27^(x−2)。（4 分）(b) 不用计算机求 log₂48 − log₂3 的值。（3 分）(c) 解方程 log₅x + log₅(x−4) = 1。（3 分） | (a) 27 = 3³，故 3^(2x−1) = 3^(3x−6)；比较指数得 2x−1 = 3x−6，所以 x = 5。(b) log₂48 − log₂3 = log₂(48 ÷ 3) = log₂16 = 4。(c) 合并对数得 log₅[x(x−4)] = 1，即 x²−4x = 5，x²−4x−5 = 0，(x−5)(x+1) = 0，x = 5 或 x = −1；真数须为正，x = −1 不合，故 x = 5。 |
| 2 | 设 f(x) = 2x + 3，g(x) = x² − 1。(a) 求 g(f(x))，并化简。（3 分）(b) 求 f⁻¹(x)。（3 分）(c) 解方程 g(f(x)) = 24。（4 分） | (a) g(f(x)) = (2x+3)² − 1 = 4x² + 12x + 9 − 1 = 4x² + 12x + 8。(b) 设 y = 2x + 3，则 x = (y − 3) ÷ 2，故 f⁻¹(x) = (x − 3) ÷ 2。(c) 4x² + 12x + 8 = 24 → 4x² + 12x − 16 = 0 → x² + 3x − 4 = 0 → (x−1)(x+4) = 0，得 x = 1 或 x = -4（两者均验算成立）。 |
| 3 | 曲线 y = 2x² − 12x + 7。(a) 以配方法写成 y = a(x − h)² + k 的形式。（3 分）(b) 求顶点坐标及函数的最小值。（3 分）(c) 解 2x² − 12x + 7 = 0，答案以根式表示并取三位小数。（4 分） | (a) y = 2(x² − 6x) + 7 = 2[(x−3)² − 9] + 7 = 2(x−3)² − 11。(b) 顶点 (3, -11)，因 a = 2 > 0，最小值为 -11。(c) 2(x−3)² = 11 → (x−3)² = 5.5 → x = 3 ± √22 ÷ 2，即 x ≈ 5.345 或 x ≈ 0.655（判别式 144 − 56 = 88 > 0，两实根）。 |
乙部：数列、二项式与三角（第 4–6 题，30 分）
全部题目必答。不许使用计算机。答案须写出完整步骤，只写答案不给分。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 4 | 等比数列首项为 3，公比为 2。(a) 求第 7 项。（3 分）(b) 求首 8 项之和。（4 分）(c) 另一等比数列首项 8、公比 1÷3，求其无限项之和。（3 分） | (a) T(7) = 3 × 2^6 = 3 × 64 = 192。(b) S(8) = 3 × (2^8 − 1) ÷ (2 − 1) = 3 × 255 = 765。(c) 因 |r| < 1，S∞ = 8 ÷ (1 − 1÷3) = 8 ÷ (2÷3) = 11。 |
| 5 | 设 (1 − 2x)^6 按 x 的升幂展开。(a) 求常数项。（2 分）(b) 求 x² 的系数。（4 分）(c) 求 x³ 的系数。（4 分） | (a) 常数项 = C(6,0) × 1^6 = 1。(b) x² 项 = C(6,2) × (−2x)² = 15 × 4x²，系数 = 60。(c) x³ 项 = C(6,3) × (−2x)³ = 20 × (−8)x³，系数 = -160。 |
| 6 | 三角形 ABC 中，a = 7 cm，b = 9 cm，角 C = 60°。(a) 求 c 的准确值及三位小数值。（4 分）(b) 求三角形面积（取三位有效数字）。（3 分）(c) 求角 A（取一位小数）。（3 分） | (a) c² = 7² + 9² − 2 × 7 × 9 × cos60° = 49 + 81 − 63 = 67，故 c = √67 ≈ 8.185 cm。(b) 面积 = ½ × 7 × 9 × sin60° = 31.5 × (√3 ÷ 2) ≈ 27.3 cm²。(c) 正弦定理：sinA ÷ 7 = sin60° ÷ c，sinA = 7 × 0.8660 ÷ 8.185 ≈ 0.7406，故 A ≈ 47.8°（角 B ≈ 72.2°）。 |
丙部：微分与积分（第 7–8 题，20 分）
全部题目必答。不许使用计算机。答案须写出完整步骤，只写答案不给分。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 7 | 设 f(x) = x³ − 6x² + 9x + 2。(a) 求 f′(x)，并求所有驻点的 x 值及对应的 f(x)。（4 分）(b) 求曲线在 x = 2 处的切线方程。（3 分）(c) 用二阶导数判别各驻点的性质。（3 分） | (a) f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x−1)(x−3)；f′(x) = 0 得 x = 1 或 x = 3。f(1) = 6，f(3) = 2。(b) f′(2) = 12 − 24 + 9 = −3，f(2) = 4，切线：y − 4 = −3(x − 2)，即 y = −3x + 10。(c) f″(x) = 6x − 12；f″(1) = −6 < 0，故 (1, 6) 为极大点；f″(3) = 6 > 0，故 (3, 2) 为极小点。 |
| 8 | (a) 求 ∫₁⁴ (3x² − 2x + 1) dx 的值。（4 分）(b) 求曲线 y = x² 与直线 y = 2x 所围区域的面积。（3 分）(c) 求 ∫₀² (4 − x²) dx 的值，并以分数表示。（3 分） | (a) 原函数 x³ − x² + x；代入上限 4 得 64 − 16 + 4 = 52，代入下限 1 得 1 − 1 + 1 = 1，故值 = 52 − 1 = 51。(b) 交点为 x = 0 与 x = 2，面积 = ∫₀² (2x − x²) dx = [x² − x³÷3]₀² = 4 − 8÷3 = 4÷3 ≈ 1.333。(c) ∫₀² (4 − x²) dx = [4x − x³÷3]₀² = 8 − 8÷3 = 16÷3 ≈ 5.333。 |
丁部：向量、几率与统计（第 9–10 题，20 分）
全部题目必答。不许使用计算机。答案须写出完整步骤，只写答案不给分。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 9 | 已知向量 a = (2, −1)，b = (−1, 3)。(a) 求 a·b、|a| 与 |b|。（4 分）(b) 求 a 与 b 的夹角（取一位小数）。（3 分）(c) 求 2a − 3b 及其大小（取三位有效数字）。（3 分） | (a) a·b = 2 × (−1) + (−1) × 3 = -5；|a| = √5 ≈ 2.236；|b| = √10 ≈ 3.162。(b) cosθ = −5 ÷ (√5 × √10) = −5 ÷ 7.0711 ≈ −0.7071，故 θ ≈ 135.0°。(c) 2a − 3b = (7, -11)，大小 = √170 ≈ 13.04。 |
| 10 | 袋中有 5 个红球、3 个蓝球、2 个绿球，共 10 个球。(a) 随机抽出 2 球（不放回），求两球皆为红球的几率（以分数表示）。（4 分）(b) 求至少有一球为红球的几率（以分数表示）。（3 分）(c) 数据 4, 7, 7, 9, 12, 15：求平均数、中位数及标准差（取三位有效数字）。（3 分） | (a) P = (5÷10) × (4÷9) = 20÷90 = 2÷9 ≈ 0.222。(b) 对立事件为两球皆非红：同样为 2÷9，故所求 = 1 − 2÷9 = 7÷9 ≈ 0.778。(c) 平均数 = 54 ÷ 6 = 9；中位数 = (7 + 9) ÷ 2 = 8；方差 = 78 ÷ 6 = 13，标准差 = √13 ≈ 3.61。 |
TutorZone 练习卷｜题目与文章为原创，并非任何学校或出版社的教材。
