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IB 数学：分析与方法（AI）SL Paper 2 模拟卷（10 题・80 分・1 小时 30 分）
练习卷 · IB 数学 AI SL
IB 数学：分析与方法（AI）SL Paper 2 模拟卷：10 题、80 分、限时 1 小时 30 分，可使用计算机及公式表，涵盖描述统计与正态分布、复利与摊还贷款、线性规划、指数增长与半衰期、余弦定理与三角面积、无放回概率与期望值、微分与极值、二次函数、四分位距与离群值、立体图形与相似比，每题附完整步骤、答案及评分要点。
卷面资料 年级：IB DP 一年级（Year 12） ｜ 科目：数学 ｜ 时限：90 分钟 ｜ 总分：80 分 ｜ 题数：10
甲部（第 1 至 5 题・40 分）
全部题目均须作答。本卷可使用计算机及公式表。计算题须展示步骤，数值答案取题目指定有效数字，并在答案末标明单位。所有数据为示例，并非任何考试机构的历届试题。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | 某校 40 名学生在数学测验的平均分为 62 分，标准差为 10 分，成绩近似正态分布。 (a) 求 75 分的 z 分数。 (b) 估计成绩高于 75 分的学生百分比，并求人数。 (c) 求该分布中间 95% 成绩的范围。 |
(a) z ＝ (75 − 62) ÷ 10 ＝ 1.30。 (b) P(Z 大于 1.30) ＝ 1 − 0.9032 ＝ 0.0968 ≈ 9.7%；人数 ≈ 40 × 0.0968 ＝ 3.9 ≈ 4 人。 (c) 62 ± 1.96 × 10 ＝ 42.4 至 81.6 分。 评分要点：(a) 2 分、(b) 3 分（百分比 2 分、人数 1 分）、(c) 3 分，共 8 分。 |
| 2 | 某人存入 50 000 元，年利率 4.2%，每季复利一次，存期 3 年。 (a) 求 3 年后的总金额及利息。 (b) 另有一笔 200 000 元贷款，年利率 6%，按月计息，分 5 年以等额月供还清，求每月供款。 (c) 求 (b) 中整笔贷款的总利息支出。 |
(a) 季利率 ＝ 4.2% ÷ 4 ＝ 1.05%，期数 ＝ 3 × 4 ＝ 12；总额 ＝ 50 000 × (1 + 0.0105)^12 ＝ 56,676.86 元，利息 ＝ 6,676.86 元。 (b) 月利率 ＝ 0.5%，期数 ＝ 60；月供 ＝ 200 000 × 0.005 ÷ (1 − 1.005^−60) ＝ 3,866.56 元。 (c) 总还款 ＝ 3,866.56 × 60 ＝ 231,993.62 元，总利息 ＝ 31,993.62 元。 评分要点：(a) 3 分、(b) 3 分、(c) 2 分，共 8 分。 |
| 3 | 某工场每日生产 x 件甲产品及 y 件乙产品，限制如下： x + y ≤ 60；2x + 3y ≤ 150；x ≤ 40；x ≥ 0，y ≥ 0。 每件甲产品利润 25 元，每件乙产品利润 40 元。 (a) 写出可行域的顶点。 (b) 求最大利润及对应产量。 (c) 若乙产品利润升至 60 元，最大利润会否改变？以计算说明。 |
(a) 顶点为 (0, 0)、(0, 50)、(30, 30)、(40, 20)、(40, 0)。 (b) 逐点代入 P ＝ 25x + 40y：(0,0) 得 0；(0,50) 得 2 000；(30,30) 得 1 950；(40,20) 得 1 800；(40,0) 得 1 000。最大利润 ＝ 2000 元，在 x ＝ 0、y ＝ 50 时达到。 (c) 若每件乙利润 60 元：(0,50) 得 3 000；(30,30) 得 750 ＋ 1 800 ＝ 2 550；(40,20) 得 1 000 ＋ 1 200 ＝ 2 200。最大仍为 3 000 元，产量不变但利润增加 1 000 元。 评分要点：(a) 3 分、(b) 3 分、(c) 2 分，共 8 分。 |
| 4 | 某城市人口 1 500 人，每年增长 8%。 (a) 写出人口 N 与年数 t 的模型，并求 10 年后人口。 (b) 求人口增至 3 000 人所需的年数（取一位小数）。 (c) 另一样本质量 500 毫克，半衰期 12 日。求 30 日后余下质量（取一位小数）。 |
(a) N ＝ 1 500 × 1.08^t；t ＝ 10 时 N ＝ 3,238.4 人。 (b) 1.08^t ＝ 2，t ＝ ln 2 ÷ ln 1.08 ＝ 9.006 ≈ 9.0 年。 (c) 30 日 ＝ 30 ÷ 12 ＝ 2.5 个半衰期，余下 ＝ 500 × 0.5^2.5 ＝ 88.4 毫克。 评分要点：(a) 3 分、(b) 2 分、(c) 3 分，共 8 分。 |
| 5 | 三角形 ABC 中，a ＝ 7 cm，b ＝ 9 cm，夹角 C ＝ 52°。 (a) 求 c 的长度（取三位小数）。 (b) 求三角形面积（取二位小数）。 (c) 求角 A 及角 B（取一位小数）。 |
(a) c² ＝ 7² ＋ 9² − 2 × 7 × 9 × cos 52° ＝ 52.427，c ＝ 7.241 cm。 (b) 面积 ＝ 0.5 × 7 × 9 × sin 52° ＝ 24.82 cm²。 (c) 正弦定理：sin A ＝ 7 sin 52° ÷ 7.241 ＝ 0.7618，A ＝ 49.6°；B ＝ 180° − 52° − 49.6° ＝ 78.4°。 评分要点：(a) 3 分、(b) 2 分、(c) 3 分，共 8 分。 |
乙部（第 6 至 10 题・40 分）
全部题目均须作答。本卷可使用计算机及公式表。计算题须展示步骤，数值答案取题目指定有效数字，并在答案末标明单位。所有数据为示例，并非任何考试机构的历届试题。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 6 | 袋中有 5 个红球及 3 个蓝球，随机抽出两个球，不放回。 (a) 求两个都是红球的概率。 (b) 求两个球颜色不同的概率。 (c) 游戏规则：两个都是红球赢 3 元，否则输 1 元。求期望值，并求公平游戏下应赢多少元。 |
(a) P(两红) ＝ (5/8) × (4/7) ＝ 20/56 ＝ 0.3571。 (b) P(不同色) ＝ (5/8)(3/7) ＋ (3/8)(5/7) ＝ 30/56 ＝ 0.5357。 (c) E ＝ 3 × 0.3571 − 1 × 0.6429 ＝ 0.429 元，对玩家有利；公平游戏下赢款 w 满足 w × 0.3571 ＝ 1 × 0.6429，w ＝ 7.2 元。 评分要点：(a) 2 分、(b) 3 分、(c) 3 分，共 8 分。 |
| 7 | 设 f(x) ＝ x³ − 6x² + 9x + 2。 (a) 求 f′(x) 及驻点，并判断各驻点的性质。 (b) 求 x ＝ 0 处的切线方程。 (c) 求曲线与 x 轴在 x ＝ 0 至 x ＝ 3 之间所围的面积。 |
(a) f′(x) ＝ 3x² − 12x ＋ 9 ＝ 3(x − 1)(x − 3)，驻点 x ＝ 1 及 x ＝ 3。 f″(x) ＝ 6x − 12；f″(1) ＝ −6 少于 0，故 (1, 6) 为极大点；f″(3) ＝ 6 大于 0，故 (3, 2) 为极小点。 (b) f(0) ＝ 2，f′(0) ＝ 9，切线为 y ＝ 9x ＋ 2。 (c) 原函数 x⁴/4 − 2x³ ＋ 4.5x² ＋ 2x；代入 3 得 12.75，代入 0 得 0，面积 ＝ 12.75 平方单位（曲线全程在 x 轴上方）。 评分要点：(a) 4 分、(b) 2 分、(c) 2 分，共 8 分。 |
| 8 | 设二次函数 y ＝ −2x² ＋ 12x − 10。 (a) 求顶点及对称轴。 (b) 求与 x 轴的交点及判别式的值。 (c) 将函数写成顶点式，并描述图像由 y ＝ −2x² 经过哪些变换得到。 |
(a) x ＝ −12 ÷ (2 × −2) ＝ 3，y ＝ 8，顶点 (3, 8)，对称轴 x ＝ 3。 (b) 判别式 ＝ 12² − 4(−2)(−10) ＝ 64；交点 x ＝ 1 及 x ＝ 5，即 (1, 0) 与 (5, 0)。 (c) y ＝ −2(x − 3)² ＋ 8：由 y ＝ −2x² 向右平移 3 单位、向上平移 8 单位，并且开口向下（不变）。 评分要点：(a) 3 分、(b) 3 分、(c) 2 分，共 8 分。 |
| 9 | 某组数据：12、15、15、18、20、22、25、28、30、42。 (a) 求中位数、下四分位数、上四分位数及四分位距。 (b) 以 1.5 × 四分位距 检验 42 是否离群值。 (c) 求平均数及样本标准差（取二位小数），并说明平均数与中位数的差异。 |
(a) 中位数 ＝ (20 ＋ 22) ÷ 2 ＝ 21；下四分位数 ＝ 15；上四分位数 ＝ 28；四分位距 ＝ 13。 (b) 上界 ＝ 28 ＋ 1.5 × 13 ＝ 47.5；42 少于 47.5，故不是离群值。 (c) 平均数 ＝ 22.7，样本标准差 ＝ 8.96；平均数高于中位数 21，因为 42 这个较大的值把平均数拉高，中位数则不受极端值影响。 评分要点：(a) 3 分、(b) 2 分、(c) 3 分，共 8 分。 |
| 10 | 一个直圆锥的半径 5 cm、高 12 cm。 (a) 求斜高及体积（取二位小数）。 (b) 求总表面积（取二位小数）。 (c) 另有与此圆锥相似的小圆锥，长度比例为 1 : 3。求其体积及总表面积。 |
(a) 斜高 ＝ 5² ＋ 12² 的平方根 ＝ 13 cm；体积 ＝ π × 25 × 12 ÷ 3 ＝ 314.16 cm³。 (b) 曲面面积 ＝ π × 5 × 13 ＝ 204.20，底面积 ＝ π × 25 ＝ 78.54，总表面积 ＝ 282.74 cm²。 (c) 长度比 1 : 3，体积比 1 : 27 → 11.64 cm³；表面积比 1 : 9 → 31.42 cm²。 评分要点：(a) 3 分、(b) 3 分、(c) 2 分，共 8 分。 |
TutorZone 练习卷｜题目与文章为原创，并非任何学校或出版社的教材。
