IGCSE 附加数学 0606 Paper 1（10 题・100 分・60 分钟）

练习卷 · IGCSE Add Maths 0606 Paper 1

IGCSE 附加数学 0606 Paper 1 练习卷（10 题・100 分・60 分钟）：、函数与反函数、配方法与顶点、指数与根式化简、余式与因式定理、二项式展开、对数方程与应用、弧度法与弓形面积、三角方程与倍角、微分驻点与切线。题目全部原创，附完整答案与评分要点。

卷面资料　年级：IGCSE　｜　科目：附加数学　｜　时限：60 分钟　｜　总分：100 分　｜　题数：10

甲部　函数、二次方程、指数与对数（44 分）

第 1–2 题

#	题目	答案与评分要点
1	1. 设 f(x) = 2x + 3，g(x) = x² − 1。 (a) 求 gf(2)。(2 分) (b) 求 f⁻¹(x)，并解 f⁻¹(x) = 5。(3 分) (c) 解 fg(x) = 15。(3 分)	(a) f(2) = 7，g(7) = 48。(2 分) (b) f⁻¹(x) = (x − 3)/2；f⁻¹(x) = 5 得 x = 13。(3 分) (c) fg(x) = 2(x² − 1) + 3 = 2x² + 1 = 15，x² = 7，x = ±√7。(3 分) 评分要点：复合次序颠倒（gf 与 fg 互换）整题 0 分；(b) 只写答案无步骤最多 2 分。
2	2. 曲线 y = 3x² − 12x + 7。 (a) 以 a(x − h)² + k 形式表示。(3 分) (b) 写出顶点坐标及 y 的取值范围。(2 分) (c) 求 k 的范围，使方程 3x² − 12x + 7 = k 有两个相异实根。(3 分)	(a) 3(x − 2)² − 5。(3 分) (b) 顶点 (2, -5)；y ≥ -5。(2 分) (c) k > -5。(3 分) 评分要点：配方法漏系数 3 最多 1 分；(c) 只写答案而无判别式理据 2 分。

第 3–4 题

#	题目	答案与评分要点
3	3. (a) 化简 (27^(2/3) × 16^(3/4)) ÷ 8^(1/3)。(3 分) (b) 将 6/(√5 − √2) 有理化。(3 分) (c) 解 2^(2x + 1) = 8^(x − 1)。(3 分)	(a) 27^(2/3) = 9，16^(3/4) = 8，8^(1/3) = 2，故 9 × 8 ÷ 2 = 35。(3 分) (b) 分子分母同乘 (√5 + √2)：6(√5 + √2)/3 = 2(√5 + √2)。(3 分) (c) 右边 = 2^(3x − 3)，故 2x + 1 = 3x − 3，x = 4。(3 分) 评分要点：(b) 分母未化为有理数 0 分；(c) 未化成同底最多 1 分。
4	4. 设 f(x) = x³ + 2x² − 5x − 6。 (a) 证明 (x − 2) 是 f(x) 的因式。(3 分) (b) 将 f(x) 完全分解为一次因式。(4 分) (c) 解 f(x) = 0。(2 分)	(a) f(2) = 8 + 8 − 10 − 6 = 0，故 (x − 2) 为因式。(3 分) (b) 长除得 x² + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)，故 f(x) = (x − 2)(x + 1)(x + 3)。(4 分) (c) x = 2、−1 或 −3。(2 分) 评分要点：(b) 只取部分因式最多 2 分；(c) 与 (b) 结果不符 0 分。

第 5 题

#	题目	答案与评分要点
5	5. (a) 写出 (1 + 2x)^6 展开式的首三项。(3 分) (b) 求 x³ 的系数。(3 分) (c) 由此求 (1 + 2x)^6(1 − x) 中 x³ 的系数。(4 分)	(a) 1 + 12x + 60x²。(3 分) (b) C(6,3) × 2³ = 20 × 8 = 160。(3 分) (c) 160 − 60 = 100。(4 分) 评分要点：(b) 漏 2³ 只答 20 得 1 分；(c) 自行重算而答对仍给满分。

第 6–7 题

#	题目	答案与评分要点
6	6. (a) 解 log₃ x + log₃(x − 2) = 1。(4 分) (b) 解 5^x = 2^(x + 1)，答案取三位有效数字。(3 分) (c) 以 log_a b 表示 log_a(√(a³b))。(3 分)	(a) x(x − 2) = 3，x² − 2x − 3 = 0，x = 3 或 −1；x = −1 使对数无定义，故 x = 3。(4 分) (b) x log 5 = (x + 1) log 2，x = log 2/(log 5 − log 2) ≈ 0.756。(3 分) (c) (3/2) + (1/2) log_a b。(3 分) 评分要点：(a) 未剔除 x = −1 扣 1 分；(c) 写成 (3/2)log_a a 而未化简最多 2 分。
7	7. 扇形半径 10 cm，圆心角 1.2 弧度。 (a) 求弧长及扇形周界。(3 分) (b) 求扇形面积。(3 分) (c) 求对应弓形（segment）面积，取三位有效数字。(4 分)	(a) 弧长 = 10 × 1.2 = 12 cm；周界 = 12 + 20 = 32 cm。(3 分) (b) 面积 = ½ × 10² × 1.2 = 60 cm²。(3 分) (c) 三角形面积 = ½ × 100 × sin 1.2 = 46.6 cm²，弓形 = 60 − 46.6 = 13.4 cm²。(4 分) 评分要点：计算机须校为弧度模式；(c) 用度数代入得错误数值 1 分。

第 8–9 题

#	题目	答案与评分要点
8	8. (a) 证明 2sin²θ + 3cosθ − 3 = 0 可写成 2cos²θ − 3cosθ + 1 = 0。(3 分) (b) 解 2cos²θ − 3cosθ + 1 = 0，0° ≤ θ ≤ 360°。(5 分) (c) 由此解 2sin²(2x) + 3cos(2x) − 3 = 0，0° ≤ x ≤ 180°。(4 分)	(a) 代入 sin²θ = 1 − cos²θ：2 − 2cos²θ + 3cosθ − 3 = 0，即 2cos²θ − 3cosθ + 1 = 0。(3 分) (b) (2cosθ − 1)(cosθ − 1) = 0，cosθ = 1/2 或 1，θ = 60°、300°、0°、360°。(5 分) (c) 2x = 0°、60°、300°、360°，故 x = 0°、30°、150°、180°。(4 分) 评分要点：(b) 漏 0°/360° 最多 3 分；(c) 忘记以 2x 的范围收窄最多 2 分。
9	9. 曲线 C：y = x³ − 6x² + 9x + 1。 (a) 求 dy/dx。(2 分) (b) 求 C 的驻点坐标。(4 分) (c) 判断各驻点的性质。(3 分) (d) 求 C 在 x = 2 处的切线方程。(3 分)	(a) dy/dx = 3x² − 12x + 9。(2 分) (b) 3x² − 12x + 9 = 0 → (x − 1)(x − 3) = 0，驻点为 (1, 5) 及 (3, 1)。(4 分) (c) d²y/dx² = 6x − 12：x = 1 时为 −6（极大），x = 3 时为 +6（极小）。(3 分) (d) x = 2 时 y = 3、斜率 = -3，切线为 y = -3x + 9。(3 分) 评分要点：(b) 只写 x 值而无 y 坐标扣 2 分；(c) 未用二阶导数或符号表说明 0 分。

第 10 题

#	题目	答案与评分要点
10	10. 质点速度 v = (3t² − 8t + 4)i + 2t j（单位 m/s），t = 0 时位于原点。 (a) 求 t = 2 时的加速度向量及其大小（三位有效数字）。(4 分) (b) 求速度 i 分量为零的时刻。(4 分) (c) 求 t = 3 时的位移向量，以及与原点的距离（三位有效数字）。(4 分)	(a) a = (6t − 8)i + 2j；t = 2 时 a = 4i + 2j，大小 = √20 ≈ 4.47 m/s²。(4 分) (b) 3t² − 8t + 4 = (3t − 2)(t − 2) = 0，t = 2/3 或 t = 2。(4 分) (c) x = t³ − 4t² + 4t → t = 3 时 x = 3；y = t² = 9，位移 = 3i + 9j，距离 = √90 ≈ 9.49 m。(4 分) 评分要点：(b) 只写一个时刻最多 2 分；(c) 未由速度积分而直接代 t 0 分。

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