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IGCSE 数学 0580 Paper 4 练习卷（8 题・65 分・90 分钟）
练习卷 · IGCSE 数学 0580 Paper 4 练习卷
IGCSE 数学 0580 Paper 4 练习卷：8 题原创题目、65 分、90 分钟，涵盖联立方程与二次方程、因式分解、正弦与余弦定理、统计量与四分位距、圆形定理、圆柱与圆锥的体积及曲面面积、百分率与复利、集合概率，每题附评分要点，所有数值由公式核算。
卷面资料 年级：IGCSE（Grade 9–10／Year 10–11） ｜ 科目：数学 ｜ 时限：90 分钟 ｜ 总分：65 分 ｜ 题数：8
甲部 代数、三角与统计（30 分）
第 1–4 题（代数、三角与统计，分项分数见题目）
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | 已知联立方程 2x + 3y = 19 与 4x – y = 17。 (a) 以消元法解该联立方程。（3 分） (b) 由此求 6x + 2y 的值。（2 分） (c) 解二次方程 x² – 7x + 12 = 0。（2 分） |
(a) 由 4x – y = 17 得 y = 4x – 17（1 分）；代入 2x + 3(4x – 17) = 19，化简得 14x = 70，x = 5（1 分）；y = 4(5) – 17 = 3（1 分） (b) 6x + 2y = 6(5) + 2(3) = 36（1 分代入，1 分答案） (c) (x – 3)(x – 4) = 0，x = 3 或 x = 4（1 分因式分解，1 分两个根） |
| 2 | 化简与因式分解题。 (a) 展开 (2x – 3)(x + 5)。（2 分） (b) 因式分解 6x² – 11x – 10。（2 分） (c) 化简 (x² – 9) / (x² + x – 12)。（2 分） (d) 解方程 3 / (x – 1) = 2 / (x + 2)。（2 分） |
(a) 2x² + 10x – 3x – 15 = 2x² + 7x – 15（1 分展开，1 分化简） (b) 6x² – 15x + 4x – 10 = (3x + 2)(2x – 5)（1 分分组，1 分答案） (c) (x – 3)(x + 3) / [(x + 4)(x – 3)] = (x + 3) / (x + 4)（1 分因式分解，1 分化简；须注明 x ≠ 3、x ≠ -4） (d) 3(x + 2) = 2(x – 1)，3x + 6 = 2x – 2，x = -8（1 分交叉相乘，1 分答案） |
| 3 | 一把长 6.5 m 的梯子斜靠垂直墙壁，梯子与地面成 68°。 (a) 求梯子顶端距地面的高度，准确至 0.01 m。（2 分） (b) 求梯子底部与墙脚的距离，准确至 0.01 m。（2 分） 在三角形 ABC 中，AB = 9.6 cm，AC = 6.9 cm，∠BAC = 52°。 (c) 求 BC 的长度，准确至 0.01 cm。（2 分） (d) 以正弦定理求 ∠ABC，准确至 0.1°。（2 分） |
(a) 高度 = 6.5 × sin 68° = 6.03 m（1 分选用正弦，1 分答案） (b) 距离 = 6.5 × cos 68° = 2.43 m（1 分选用余弦，1 分答案） (c) BC² = 9.6² + 6.9² – 2 × 9.6 × 6.9 × cos 52° = 58.21，BC = 7.63 cm（1 分余弦定理，1 分答案） (d) sin B / 6.9 = sin 52° / 7.63，sin B = 0.713，∠ABC = 45.5°（1 分正弦定理，1 分答案） |
| 4 | 某班 15 名学生每天温习时间（分钟）如下：12、14、15、17、18、19、21、23、24、26、28、30、33、35、38。 (a) 求平均数，准确至 0.1 分钟。（2 分） (b) 求中位数。（1 分） (c) 求四分位距。（3 分） (d) 比较平均数与中位数，判断该分布是否右偏，并说明理由。（1 分） |
(a) 平均数 = 353 / 15 = 23.5 分钟（1 分总和，1 分答案） (b) 共 15 个数据，中位数为第 8 个 = 23 分钟（1 分） (c) 下四分位数为第 (15 + 1) / 4 = 4 个 = 17，上四分位数为第 12 个 = 30，四分位距 = 30 – 17 = 13 分钟（1 分位置，1 分两值，1 分相减） (d) 平均数 23.5 大于中位数 23，较极端的偏大数据把平均数拉高，分布属右偏（1 分） |
乙部 几何、度量、百分率与概率（35 分）
第 5–8 题（几何、度量、百分率与概率，分项分数见题目）
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 5 | A、B、C、D 为圆上四点，按此次序排列，∠ABC = 118°。 (a) 求 ∠ADC。（2 分） (b) O 为圆心，求 ∠AOC 的较小者。（2 分） AT 为圆于 A 的切线，T 与 D 位于弦 AC 的两侧，∠TAC = 62°。 (c) 说明 ∠TAC 与 ∠ADC 的关系，并指出所用定理。（2 分） (d) 求 ∠OAC。（3 分） |
(a) ABCD 为圆内接四边形，对角互补：∠ADC = 180° – 118° = 62°（1 分定理，1 分答案） (b) 同弧 AC 的圆心角为圆周角的两倍：∠AOC = 2 × 62° = 124°（1 分关系，1 分答案） (c) 由切线与弦的夹角定理（alternate segment theorem），∠TAC 等于另一弓形的圆周角，故 ∠TAC = ∠ADC = 62°（1 分定理名称，1 分比较） (d) 半径垂直切线，∠OAT = 90°（1 分）；∠OAC = 90° – 62° = 28°（1 分相减，1 分答案；并可验算 2 × 28° + 124° = 180°） |
| 6 | 一个实心物体由半径 7 cm、高 20 cm 的圆柱，在顶部接上半径相同、斜高 25 cm 的圆锥组成。 (a) 求圆锥的高。（2 分） (b) 求该物体的总体积，以 π 表示。（3 分） (c) 求该物体的曲面面积（不包括底面），以 π 表示。（2 分） (d) 若把整个物体熔化并重铸成半径 7 cm 的实心球体，最多可铸成多少个完整球体？（2 分） |
(a) 高 = √(25² – 7²) = √576 = 24 cm（1 分毕氏定理，1 分答案） (b) 圆柱体积 = π × 7² × 20 = 980π；圆锥体积 = ⅓ × π × 7² × 24 = 392π；总体积 = 1372π cm³（约 4310 cm³）（1 分圆柱，1 分圆锥，1 分相加） (c) 曲面面积 = 2π × 7 × 20 + π × 7 × 25 = 455π cm²（1 分两部分，1 分答案） (d) 球体体积 = (4/3)π × 7³ = 457π；1372π ÷ 457.33π = 3，可铸成 3 个完整球体（1 分球体体积，1 分相除） |
| 7 | (a) 一件货品标价 $480，先减价 25%，再在减价后的价格上加价 15%，求最终售价。（2 分） (b) 求最终售价相对原标价的百分变化。（2 分） (c) $5000 以年利率 3.2% 复利存入银行，每年计息一次，求 4 年后的本利和，准确至整数元。（2 分） (d) 最少需要多少年，本利和才会首次超过 $6,000？（2 分） |
(a) 480 × (1 – 25%) = 360；360 × (1 + 15%) = 413 元（1 分减价，1 分加价） (b) (413 – 480) / 480 × 100% = -13.75%（1 分代入，1 分答案；负号代表净减价） (c) 本利和 = 5000 × 1.032⁴ = 5671.38 ≈ $5671（1 分公式，1 分答案） (d) 第 5 年为 $5853，未超过 6,000；第 6 年为 $6040，首次超过，故需 6 年（1 分逐年比较，1 分答案） |
| 8 | 某校 40 名学生中，25 人选修数学，18 人选修物理，7 人两科均选修。 (a) 求只选修数学、只选修物理及两科均不选修的人数。（3 分） (b) 随机选出一名学生，求他只选修一科的几率。（2 分） (c) 已知选出的学生选修数学，求他同时选修物理的几率。（2 分） (d) 解联立方程 y = 2x – 1 与 y = x² – 4，求交点的 x 座标。（2 分） |
(a) 只选数学 = 25 – 7 = 18；只选物理 = 18 – 7 = 11；至少选一科 = 36，两科均不选 = 40 – 36 = 4（每项 1 分） (b) 只选一科共 29 人，几率 = 29 / 40 = 0.725（1 分分子，1 分答案） (c) 选修数学者共 25 人，其中 7 人同时选物理，几率 = 7 / 25 = 0.28（1 分条件概率，1 分答案） (d) x² – 4 = 2x – 1，x² – 2x – 3 = 0，(x – 3)(x + 1) = 0，x = 3 或 x = -1（1 分列方程，1 分两个解） |
TutorZone 练习卷｜题目与文章为原创，并非任何学校或出版社的教材。
