中三数学练习卷：二次方程、函数与图像、圆的性质、三角比、概率与统计（100 分）

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中三数学练习卷，共六部分二十四题：二次方程的因式分解与判别式、二次函数图像的顶点与对称轴、圆的性质与切线、三角比与仰角应用、概率与组合计数、统计的集中趋势。全部数值由题目资料推算，附完整答案与评分要点，适合中三校内试与阶段评估。

卷面资料　年级：中三　｜　科目：数学　｜　时限：60 分钟　｜　总分：100 分　｜　题数：24

甲部：二次方程（18 分）

以下四小题独立作答，每题须列出计算步骤，答案须化至最简。

#	题目	答案与评分要点
1	(a) 因式分解解方程 2x² − 7x + 3 = 0。	答案：2x² − 7x + 3 = (2x − 1)(x − 3) = 0，故 x = 0.5 或 x = 3。（评分要点：正确因式分解 2 分、两个根各 1 分）
2	(b) 若方程 3x² + kx + 12 = 0 有重根，求 k 的两个可能值。	答案：重根条件为 k² = 4 × 3 × 12 = 144，故 k = 12 或 k = −12。（评分要点：列出重根条件 2 分、算出 k² 1 分、两个值 1 分）
3	(c) 求方程 2x² − 7x + 3 = 0 两根之和与两根之积。	答案：两根之和 = 7 ÷ 2 = 3.5，两根之积 = 3 ÷ 2 = 1.5。（评分要点：和 2 分、积 2 分）
4	(d) 用配方法解 x² + 4x − 5 = 0。	答案：x² + 4x − 5 = (x + 2)² − 9 = 0，故 (x + 2)² = 9，x = 1 或 x = −5。（评分要点：配方 3 分、开方 2 分、两个根 1 分）

已知二次函数 y = x² − 6x + 5。

#	题目	答案与评分要点
5	(a) 求图像的顶点座标。	答案：y = (x − 3)² − 4，顶点为 (3, −4)。（评分要点：配方 2 分、顶点 2 分）
6	(b) 求图像与两轴的所有交点。	答案：与 y 轴交于 (0, 5)；与 x 轴交于 (1, 0) 及 (5, 0)。（评分要点：y 轴交点 1 分、两个 x 轴交点各 1 分、因式分解 1 分）
7	(c) 写出对称轴方程及函数的最小值。	答案：对称轴为 x = 3，最小值为 −4。（评分要点：对称轴 2 分、最小值 2 分）
8	(d) 说明 y = 2(x − 1)² + 3 的图像由 y = 2x² 的图像经何种变换而得，并写出其顶点。	答案：把 y = 2x² 的图像向右平移 1 单位、向上平移 3 单位，顶点为 (1, 3)。（评分要点：向右 1 分、向上 1 分、顶点 2 分）

下列各题的圆都以 O 为圆心，答案须附单位。

#	题目	答案与评分要点
9	(a) 一条弧所对的圆心角为 128°，求该弧所对的圆周角。	答案：128° ÷ 2 = 64°（圆心角为圆周角的两倍）。（评分要点：关系正确 2 分、数值 2 分）
10	(b) 圆内接四边形 ABCD 中，∠A = (3x + 10)°、∠C = (2x + 20)°。求 x 及 ∠A。	答案：(3x + 10) + (2x + 20) = 180，5x = 150，x = 30，∠A = 100°。（评分要点：对角和为 180 2 分、x 1 分、∠A 1 分）
11	(c) 半径 9 cm，由外部点 P 引切线，切线长 12 cm。求 O 与 P 的距离。	答案：切线垂直半径，OP² = 9² + 12² = 225，OP = 15 cm。（评分要点：直角关系 2 分、毕氏定理 2 分、答案 1 分）
12	(d) 半径 6 cm、圆心角 120° 的扇形，求弧长及面积（以 π 表示，并取至一位小数）。	答案：弧长 = 4π ≈ 12.6 cm；面积 = 12π ≈ 37.7 cm²。（评分要点：弧长 2 分、面积 3 分）

计算题取至三位有效数字。

#	题目	答案与评分要点
13	(a) 直角三角形中，角 θ 的对边为 8、斜边为 17。求 sin θ、cos θ 及 tan θ。	答案：邻边 = 15；sin θ = 8 ÷ 17 ≈ 0.471，cos θ = 15 ÷ 17 ≈ 0.882，tan θ = 8 ÷ 15 ≈ 0.533。（评分要点：邻边 1 分、三个比值各 1 分）
14	(b) 一人高 1.6 m，站在距建筑物 30 m 处，测得楼顶仰角 40°。求楼高。	答案：1.6 + 30 × tan 40° ≈ 26.8 m。（评分要点：tan 关系 2 分、30 tan 40° 2 分、加眼高 1 分）
15	(c) 梯长 5 m，梯脚距墙 3 m。求梯顶离地高度及梯与地面所成角。	答案：高度 = 4 m；角度 = cos⁻¹(3 ÷ 5) ≈ 53.1°。（评分要点：高度 2 分、角度 2 分）
16	(d) 三角形 ABC 中，∠B = 90°，AB = 7 cm，∠A = 32°。求 BC。	答案：BC = 7 × tan 32° ≈ 4.4 cm。（评分要点：正确选用 tan 3 分、数值 2 分）

袋中有 4 个红球、6 个蓝球及 5 个绿球，除颜色外完全相同。

七名学生的测验分数为：12、15、15、18、20、22、25。

#	题目	答案与评分要点
21	(a) 求平均数（取至两位小数）。	答案：总和 127，平均数 = 127 ÷ 7 ≈ 18.14。（评分要点：总和 2 分、除以 7 共 2 分）
22	(b) 求中位数及众数。	答案：中位数为 18（第 4 个数据），众数为 15（出现两次）。（评分要点：中位数 2 分、众数 2 分）
23	(c) 求全距及四分位距。	答案：全距 = 25 − 12 = 13；Q1 = 15、Q3 = 22，四分位距 = 7。（评分要点：全距 2 分、四分位距 2 分）
24	(d) 若每个分数都加 3 分，新平均数是多少？若每个分数都乘 2，新平均数又是多少？	答案：加 3 后为 21.14；乘 2 后为 36.29。（评分要点：各 1.5 分，计算过程正确即可）

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