DSE 数学｜定积分求面积与体积备课指引（导师用）

DSE 数学｜定积分求面积与体积备课指引（导师用）｜一条曲线三种问法

2026-11-03

学生识计 ∫x² dx，但一见到“求面积”就乱代上下限。这一堂只讲一条曲线，用同一个积分回答面积、夹出面积与旋转体体积三种问法，顺手讲清楚梯形法为何偏高。

本堂目标　学生能够：① 用 ∫₀² x² dx = 2.667 讲出定积分就是有向面积，并正确写出上下限；② 求两曲线之间的面积：先找交点，再用上减下；③ 用 π∫y² dx 求绕 x 轴旋转体体积（本例 20.11）；④ 用 4 条梯形估算同一积分得 2.75，并解释误差 0.083（3.13%）的方向。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
不定积分	∫x² dx 是什么？	x³/3 + C
代入上下限	F(2) − F(0) 怎样算？	先代上限再减下限
圆面积	半径 y 的圆面积？	πy²

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–10 分	一条问题开场	曲线下的面积可否用小学的长方形加出嚟？	先估，再用积分核对
10–22 分	定积分＝面积	∫₀² x² dx = 2.667，逐项写反导数与代入	自己算出 2.667
22–34 分	两曲线之间	先解交点，再判断上减下	y = x 与 y = x² 夹出 0.167
34–46 分	旋转体体积	π∫y² dx，留意平方在积分里面	得 20.11
46–56 分	梯形法与误差	4 条梯形得 2.75，比真值高 0.083	解释为何偏高
56–60 分	离场检查	即场批改三题	三题全对

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：定积分只做两件事：找反导数、代上下限

∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 2.667。三个失分位全部在这里：忘记写 dx、上下限调转（答案变负）、把 2 代入后忘了减 0。积分区间要在图上指出来，面积永远是正数，积分可以是负数——曲线在 x 轴以下时要取绝对值或分段。

叫学生做：写出 ∫₁³ (2x + 1) dx 的完整三行，包括反导数与代入。

第二幕：两曲线之间：交点先，上下后

y = x 与 y = x² 在 x = 0 与 x = 1 相交（解 x = x²）。区间内 x 大于 x²，所以面积是 ∫₀¹ (x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 0.1667。顺序颠倒会得到负数，那就代表上下写反了。若交点多于两个，必须分段积分，并在每段重新判断谁在上。

追问：若改成对 y 积分，两条线要写成 x = y 与 x = y²，答案一样吗？

第三幕：旋转体：π 提出，y 要平方

y = x² 绕 x 轴转，截面是半径 y 的圆，体积 = π∫₀² (x²)² dx = π∫₀² x⁴ dx = π[x⁵/5]₀² = 20.1062。最常见的错是把 y 忘记平方，或把 π 也算进积分里面再乘一次。梯形法检查：4 条、每条阔 0.5，得 2.75，比真值 2.667 高 0.083（3.13%），因为 y = x² 向上弯，梯形顶边在曲线之上，所以一定高估。

叫学生答：若曲线是向下弯，梯形法会高估还是低估？为什么？

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
计算	曲线下面积	反导数 → 代上下限	2.667
计算	两曲线夹出面积	交点 → 上减下 → 积分	0.1667
计算	绕 x 轴旋转体积	π∫y² dx	20.11
估算	梯形法与误差方向	分条、加权、比较	高估 3.13%

合理性检查（一定要教）：核对：∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 2.6667；梯形法 4 条得 2.75，误差 0.0833，约 3.13%。体积 π × 32/5 = 20.1062，量纲是立方单位。所有面积答案必须为正；出现负数即代表上下限或上下曲线写反，不是“答案就是负”。考试写法：先写积分式，再写反导数，最后写数值，三步分开就不会被扣步骤分。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
∫₀² x² dx 的值	2.667	反导数 x³/3，代 2 与 0
y = x 与 y = x² 夹出的面积	0.1667	交点 0 与 1，上减下
y = x² 绕 x 轴 0 至 2 的体积	20.11	π∫x⁴ dx

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
忘记平方就直接积分	π∫x² dx 当成体积	“半径系 y，截面面积系 πy²，一定要平方。”
上下限调转	得到负面积就照抄	“面积系正数，负数代表你上下限调转。”
两曲线没有先找交点	直接用 0 到 1 硬代	“交点系区间的边界，不找就会积错段。”
梯形法当成精确值	写“面积 = 2.75”	“2.75 系估算，真值 2.667，要写明估算与误差。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

数学科章节索引　全科章节
本科练习卷 Paper 1 乙部　第 12–14 题：面积与旋转体

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
∫₀² x² dx	2.667	答对才可进概率
两曲线夹出的面积	0.1667	错一题：下堂前重做交点
梯形法误差方向	高估	错两题以上：回到第三幕

09　导师常问

面积一定要画图吗？

不一定，但画图能立刻看出谁在上、区间在哪，省回一半时间。

可以用计算机直接积分吗？

DSE 计算机没有积分功能，反导数必须自己写。

体积题会考曲线绕 y 轴吗？

会，到时改用 x² 对 y 积分，结构完全一样。

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本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。