DSE 数学｜正态分布备课指引（导师用）｜由 z 值推到百分位与抽样误差

2026-11-04

学生识写 z 等于（X 减 μ）除 σ，但一问“查表要不要减一”就停手，遇到“高于第 90 百分位”更加不知由边边入手。这一堂固定三个动作：画图、标准化、讲清楚要的是哪一面积，之后百分位与样本平均都是同一套。

本堂目标　学生能够：① 把任何正态变量标准化成 z，并用图指出要求的是左尾、右尾还是中间；② 由几率反查 z 再还原成原始分数，讲出第 90 百分位的意义；③ 讲出样本平均的标准误为何是 σ 除根号 n，并用二项分布的正态近似处理大样本问题。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
平均值与标准差	标准差量度什么？	答数据离平均的分散程度
对称分布	正态分布有几多成在一个标准差内？	答约 68%
概率	总面积等于几多？	答 1，即 100%

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–8 分	快检三题	标准差意义、68% 法则、总面积	口头答，错即补
8–22 分	标准化与画图	z 的公式与三个区域	每题先画图再算
22–36 分	查表与百分位	由几率反查 z，再还原 X	两题一正一反
36–50 分	样本平均与近似	标准误、二项正态近似	改 n 看标准误变化
50–57 分	计时练习	正查与反查各一，样本平均一题	独立完成
57–60 分	离场检查	三个检查点，每点一题	自评并圈出漏洞

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：标准化：先画图，再写 z

设 X 服从正态分布，平均 60、标准差 10。要 P(X > 75) 就用 z 等于 (75 − 60) ÷ 10 等于 1.5。查表 Φ(1.5) 约 0.9332，即 93.32% 在 75 分以下，所以高于 75 的只有 6.68%，约等于每 15 人有一个。要 50 至 70 之间就是两边各一个标准差：Φ(1) − Φ(−1) 等于 68.27%，即大约三分二。同一个公式，差别只在最后一步要减还是不减，所以图一定要先画。

规定动作：每题左边画钟形图，把要求的面积涂黑，再写 z，最后才按计算机。

第二幕：百分位：反查表，再还原

“第 90 百分位”即是左边面积 0.90 对应的 z。由表反查得 z 约 1.2816，还原成原始分是 60 + 1.2816 × 10 等于 72.82。意思是有九成考生低于 72.82 分，不是“72.82 分等于九十分”。这一步最常出错：学生把百分位当成分数百分比，或者忘记乘回标准差。反查之后一定要做合理性检查：z 是正的，答案必须高于平均；若算出低于 60 分，一定错。

要学生口头讲一次“面积几多、z 几多、分数几多”，三个数字齐才算完成。

第三幕：样本平均：标准误与二项近似

抽 25 人，样本平均的标准误是 10 ÷ 根号 25 等于 2。所以 P(样本平均 > 63) 的 z 是 (63 − 60) ÷ 2 等于 1.5，几率同样是 6.68%。样本越大，标准误越小，分布越窄，这就是为何大样本估得准。再看二项分布：100 次、每次成功机会 0.5，平均 50、标准差 5；求 P(X ≥ 60) 要先做连续性修正，用 59.5，z 是 1.9，几率约 2.87%。不做修正会系统性高估，这一点要讲明。

比较两题：同一个 1.5 个标准差，一个用 σ、一个用 σ 除根号 n，问学生为何答案一样而故事不同。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
右尾几率	X～N(60, 10²)，求 P(X > 75)	z 后取 1 减 Φ	6.68%
中间区域	求 50 至 70 之间	两边 z 各自查表再相减	68.27%
反查百分位	求第 90 百分位	反查 z 再乘 σ 加 μ	72.82
样本平均	n = 25，求 P(平均 > 63)	标准误 10 ÷ 5 等于 2	6.68%

合理性检查（一定要教）：一致性检查三条：中间区域 68.27% 必须接近 68%，因为那正是加减一个标准差；右尾 6.68% 小于一半，因为 75 高于平均；第 90 百分位 72.82 必须高于 60，因为 z 是正数。任何一条不成立，就是查表方向或加减一步错了，不用重算全部。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
X～N(50, 8²)，求 P(X > 62)	z = 1.5，约 6.68%	有无先用 1 减 Φ
X～N(50, 8²)，求第 95 百分位（z ≈ 1.6449）	约 63.16	反查后有无乘回 8
n = 64，σ = 8，求样本平均的标准误	1	根号 64 等于 8，不是 64

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
查表后忘记 1 减	答 P(X > 75) = 93.3%	“表系左边面积，你要右边，所以要一减。”
百分位当成分数百分比	答第 90 百分位即 90 分	“百分位讲名次，不系分数，要反查再还原。”
标准误用 σ 直接算	n = 25 都用 10	“样本平均的标准差系 σ 除根号 n，样本越大越窄。”
二项近似不做连续性修正	用 60 而非 59.5	“由整数转连续，边界要退半步，不系就系这么高估。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

数学科章节索引　全科章节
数学练习卷　统计部分：正态分布与抽样题

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
标准化	X～N(60, 10²)，P(X > 75) 的 z	算不出：回第一幕公式
百分位	第 90 百分位代表什么	答“90 分”：补反查与还原
标准误	n = 25 时标准误几多	答 10：补根号 n

09　导师常问

一定要用计算机的内建函数吗？

DSE 允许用内建正态分布函数，但标准化步骤仍要写出来，否则拿不到方法分。

为何要画图？

因为同一个 z 可以问四个不同区域，图能防止“要右尾却查了左尾”这类错。

样本平均为何仍是正态？

母体正态时样本平均必为正态；母体非正态而 n 够大时，中央极限定理也给出近似正态。

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本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。