DSE 数学｜排列与组合备课指引（导师用）

DSE 数学｜排列与组合备课指引（导师用）｜一句话分开 P 与 C

2026-11-04

学生一见“选几个”就随手用 C，一见“排队”就用 P，但真正的难题是“有条件”那一步。这一堂只教两个判断：换位置会否改变结果、限制条件可否用补集。

本堂目标　学生能够：① 用一句话判断题目要 P 还是 C（互换位置会否得出不同结果）；② 用补集法处理“至少一个”这类限制；③ 分组与分配的分别讲清楚（先分组、后排列）；④ 在 5 分钟内完成 9 人选 4 人的总数与“至少一女”的数目（126 与 121）。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
阶乘	4! 等于几多？	答 24
P 与 C 的公式	C(5,2) 同 P(5,2) 分别系几多？	答 10 同 20
补集概念	“至少一个”的反面是什么？	答“一个都没有”

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–8 分	快检三题	抽问阶乘、P/C、补集	口头答，错即补
8–20 分	判断次序	三个情境测试：换位会否改变结果	讲出 P 还是 C
20–34 分	限制条件	补集法与直接法比较	用补集重算一次
34–46 分	分组与分配	先分组、后排列，注意组别相同	分辨两种问法
46–56 分	限时实作	三题由易到难	独立完成不查书
56–60 分	离场检查	按三个得分点逐题问	自评并圈错处

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：一句话判断 P 还是 C

问学生：“甲乙换位置，结果算不算不同？”算不同就是 P，算一样就是 C。选一个小组（做同一件事）是 C，选人做不同职位是 P。这个判断要在读题后三秒内做完，因为之后所有计算都建立在它上面。答错这一步，后面写得再靓都是零分。

每题先要学生讲一句“换位不同，所以用 P”或“换位一样，所以用 C”，讲完才动笔。

第二幕：限制条件：先数“不准”的那一边

“至少一女”直接数要分一女、两女、三女、四女四个情况，容易漏。用补集：总数 C(9,4) = 126，减去“全男”C(5,4) = 5，得 121。补集法只有两个动作，错的机会少一半。判断用哪个方法很简单：如果“符合”的情况多过“不符合”，就用补集。

写低“总数 − 反面”，两行都要有数，不准心算。

第三幕：分组与分配：先分组，后排列

把人分成几组（组无名）是 C；把组分去不同地方（组有名）就要再乘组数的排列。例如 5 男 4 女中选 2 男 2 女：C(5,2) × C(4,2) = 10 × 6 = 60。若之后要把这 4 人分去两个不同房间（每房 2 人），就要再乘 2，因为房间有名。圆形排列是 (n − 1)!，6 人围圈是 120 种，因为转动后相同只算一种。

要学生圈出“组有无名”，无名就不准乘组数。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
纯组合	选人做同一件事	判断换位不变 → C	C(9,4) = 126
纯排列	选人担任不同职位	判断换位有变 → P	P(9,3) = 504
限制条件	至少一女	总数减反面（全男）	121
圆形排列	围圈而坐	(n − 1)!，注意有无方向限制	120 种

合理性检查（一定要教）：数字大小要合理：C(9,4) = 126，而“2 男 2 女”只有 60，后者一定细过前者，因为加了限制；“至少一女”121 应该接近总数 126，因为全男只有 5 种，减掉的数细，这个比例一看就知答案有无离谱。排列一定大过组合：P(9,3) = 504 对 C(9,3) = 84，差 3! = 6 倍。若组合答案大过排列答案，一定左右调转。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
9 人选 4 人组成小组，有几多种？	126 种	有无判断用 C
9 人中选 4 人，至少一女，有几多种？	121 种	有无用补集
5 男 4 女中选 2 男 2 女	60 种	有无分两步相乘

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
P 与 C 调转	选小组用 P，得 3024	“做同一件事换位没有分别，所以系 C，不系 P。”
“至少”逐个情况数	只数一女，漏三女四女	“至少的反面系一个都没有，用总数减去全男最快。”
分组后忘记组有名	分两房只计 C	“两间房不同，所以分完仲要乘 2。”
圆形排列当直线	6 人围圈写 6!	“围圈转动后一样，所以系 (6 − 1)!。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

数学科章节索引　全科章节
本科练习卷　排列与组合：第 5、8 题

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
判断 P/C	换位会否改变结果	讲不出：重教第一幕
补集	总数减反面	逐个数：重做例题
分组	先分组后排列	漏乘：重讲第三幕

09　导师常问

0! 为什么等于 1？

因为“一个都没有”只有一种排法，定义成 1 才能令公式一致。

“至少两个”也可以用补集吗？

可以，反面是“零个或一个”，要减两项，记得两项都要减。

相同物品的排列怎算？

用 n! 除以每个重复组的阶乘，例如 AAB 有 3!/2! = 3 种。

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本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。