DSE 数学｜立体三角学备课指引（导师用）｜先找投影，再画直角三角形

2026-11-04

学生一见立体图就用尺量图上长度，把平面画出来的斜线当成真实长度，线面角自然全错。这一堂只固定三个动作：找投影、画直角三角形、最后才按计数机。

本堂目标　学生能够：① 用三维毕氏定理（两次平面毕氏）求空间对角线；② 讲出斜线在平面上的投影是哪一条线，并在这个投影所在的直角三角形内求线面角；③ 找出两个平面的交线，各画一条垂直交线的直线，用这两条线求面面角；④ 在 4 分钟内完成 12×5×4 长方体的空间对角线与线面角（13.60 cm、17.1°）。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
毕氏定理	两股 5 与 12，斜边几多？	答 13
投影	斜线落在平面上的“影子”是哪一条线？	答“由垂足连到斜线落点”
tan 的定义	tan θ 等于对边除以什么？	答“邻边”

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–8 分	快检三题	抽问毕氏、投影、tan	口头答，错即补
8–20 分	空间对角线	两次毕氏：先底面，再穿高度	自行算 5-12-13 底面
20–34 分	线面角	示范找垂足与投影，画出直角三角形	画出并标角
34–46 分	面面角	找交线、各画垂线、比较两角	指出交线
46–56 分	限时实作	一题长方体、一题三角柱	独立完成不查书
56–60 分	离场检查	按三个得分点逐题问	自评并圈错处

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：空间对角线：两次毕氏，不是一条公式

先在底面用毕氏定理：底面对角线 = √(12² + 5²) = 13 cm；再用这条线与高度做第二次毕氏：空间对角线 = √(13² + 4²) = 13.60 cm。要学生每次都把两步写出来，因为 DSE 给步骤分；直接写 √(l²+w²+h²) 虽然答案一样，但一旦题目不是长方体（例如三角柱）就会全部乱。

要求学生先写“底面：”再写“空间：”，两行都要有数。

第二幕：线面角：先找垂足，再找投影

斜线与平面的夹角，就是斜线与它在平面上投影的夹角。做法三步：① 由斜线的高点向平面作垂线，垂足记住；② 由垂足连到斜线的落点，这一条就是投影；③ 在斜线、垂线、投影组成的直角三角形内用 tan。本堂例子：长方体空间对角线与底面的夹角，tan θ = 4/13 = 0.3077，所以 θ = 17.1°。学生最常直接把“图上看出来的角”当答案，要问他一句“你𠮶个角系边两条线夹出嚟”，答不出就代表未找投影。

每题强制先用手指指住垂足，讲出投影是哪一条线，才准按计数机。

第三幕：面面角：交线是唯一的起点

两平面夹角一定沿交线量。做法：先画出两平面的交线，然后在每个平面内各画一条与交线垂直的直线，这两条线的夹角就是面面角。本堂例子：对角垂直面与底面，交线是底面上与宽平行的边，两条垂线分别长 5 与 4，tan θ = 4/5 = 0.80，θ = 38.7°。若学生画出的两条线不垂直交线，量出来的角一定偏大，所以垂直记号要画出来。

画完垂线要打上直角记号，没有记号一律当错。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
空间对角线	求长方体或柱体的空间长度	底面毕氏 → 再穿高度毕氏	13.60 cm
线面角	斜线与底面夹角	找垂足 → 找投影 → tan = 高 ÷ 投影长	17.1°
面面角	两平面夹角	找交线 → 各画垂线 → 求两线夹角	38.7°
反求长度	已知角度求某条边	先定直角三角形，再用 sin／cos／tan 反推	单位跟题目

合理性检查（一定要教）：数字互相检查：底面 12 与 5 正好是 5-12-13 的放大版，底面对角线 13 cm；空间对角线 √(13² + 4²) = 13.60 cm，必定长过任何一条棱。线面角 tan θ = 4/13 数值小于 1，所以角度必定小于 45°，计出 17.1° 合理；面面角用 4/5 得 38.7°，比线面角大，因为分母细了，这个大小关系可以用来验算。若计出线面角大过 45°，一定是把投影与高调转。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
长方体 12×5×4 cm，求空间对角线	13.60 cm	有无分两次毕氏
同一长方体，求空间对角线与底面的夹角	17.1°	有无先找投影
求对角垂直面与底面的夹角	38.7°	有无沿交线画垂线

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
把图上斜线当真实长度	用尺量图得 9 cm	“图系示意图，不系实物，长度要用毕氏计出嚟。”
线面角用了斜线与棱的夹角	答成 38.7°	“你𠮶个系同边的夹角，线面角要对投影，不系对棱。”
两次毕氏只做一次	答案写成 13 cm	“你只计到底面对角线，仲要穿高度，第二步去了边？”
面面角垂线未垂直交线	随便画两条线就量	“两条线都要垂直交线，不垂直就不系面面角。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

数学科章节索引　全科章节
本科练习卷　立体图形：第 3、6 题

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
空间对角线	两次毕氏	只做一次：重教第一幕
线面角	斜线对投影	答不出投影：回第二幕
面面角	沿交线各画垂线	无直角记号：重画

09　导师常问

一定要背 √(l²+w²+h²) 吗？

可以背来复核，但答题要写两次毕氏的步骤，否则长方体以外的图形会完全不会做。

线面角会大过 90° 吗？

不会。线与平面的夹角定义在 0° 到 90° 之间，计出负数或大过 90° 一定是投影找错。

面面角用计数机的 tan⁻¹ 还是 sin⁻¹？

看你在直角三角形内知道哪两条边：知道对边与邻边用 tan⁻¹，知道对边与斜边用 sin⁻¹。

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本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。