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IB 数学 AA｜正态分布与 z 分数 备课指引（导师用）｜标准化、上尾概率与反向查表
学生背得出 z = (x − μ) ÷ σ，但一收到原始分数就忘记先减平均再除标准差。这一堂用同一个 μ = 62、σ = 8 走完正查与反查两个方向。
本堂目标 学生能够：① 把原始分数标准化成 z 并讲出符号的意思；② 由 z 查表分出上尾、下尾与区间概率；③ 由给定概率反向查 z 再还原成原始分数。
01 先备知识（开课前 3 分钟快检）
以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：
| 技能 | 快检题 | 过关标准 |
|---|---|---|
| 减法与除法 | (70 − 62) ÷ 8 是多少 | 1 |
| 补数 | 1 − 0.8413 是多少 | 0.0668 |
| 对称性 | Φ(−1) 与 Φ(1) 有什么关系 | 相加等于 1 |
02 课堂流程（60 分钟）
| 时间 | 环节 | 导师做什么 | 学生做什么 |
|---|---|---|---|
| 0–8 分 | 一个例子两个方向 | 先问“70 分算高吗” | 讲出要比较就要标准化 |
| 8–20 分 | 标准化 | z = (x − μ) ÷ σ | 算出 z = 1 |
| 20–34 分 | 查表方向 | 上尾、下尾、区间 | 算出 0.8413 与 0.0668 |
| 34–46 分 | 区间概率 | Φ(1) − Φ(−1) | 算出 0.6827 |
| 46–56 分 | 反向查表 | 找 0.9 对应的 z | 算出 72.25 |
| 56–60 分 | 离场检查 | 三题收回即批 | 独立完成 |
03 讲解脚本（照着说就可以）
第一幕：标准化：先减平均，再除标准差
μ = 62、σ = 8。x = 70 时 z = (70 − 62) ÷ 8 = 1。
要学生讲清：z = 1 的意思是“高过平均 1 个标准差”，不是“高了 1 分”。
要学生讲清：z = 1 的意思是“高过平均 1 个标准差”，不是“高了 1 分”。
要学生复述：z 的单位是什么（没有单位，是标准差的倍数）。
第二幕：查表：上尾一定要用 1 减
Φ(1) = 0.8413，所以 P(X 大过 70) = 1 − 0.8413 = 0.1587。
x = 74 时 z = 1.5，Φ(1.5) = 0.9332，上尾 = 0.0668。
最常见误解：把 0.9332 当成“大过 74 的概率”，其实那是“细过 74”。
x = 74 时 z = 1.5，Φ(1.5) = 0.9332，上尾 = 0.0668。
最常见误解：把 0.9332 当成“大过 74 的概率”，其实那是“细过 74”。
要学生复述：题目问“大过”时要由 1 减，问“细过”时直接读表。
第三幕：反向：先查 z，再乘标准差加平均
要“最高 10%”的分界线，就要找 Φ(z) = 0.9，得 z = 1.2816。
还原：x = 62 + 1.2816 × 8 = 72.25。方向不可以倒转——一定要先乘 σ 才加 μ。
还原：x = 62 + 1.2816 × 8 = 72.25。方向不可以倒转——一定要先乘 σ 才加 μ。
要学生计：若 σ 变 10，同一条分界线变成几多（62 + 12.8155 = 74.82）。
04 必教题型与步骤
| 题型 | 例子 | 步骤 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 标准化 | x = 66、μ 62、σ 8 | z = (x − μ) ÷ σ | z = 0.5、概率 0.6915 |
| 上尾概率 | P(X 大过 74) | 1 − Φ(1.5) | 0.0668 |
| 区间概率 | P(54 细过 X 细过 70) | Φ(1) − Φ(−1) | 0.6827 |
| 反向查表 | 最高 10%% 的分界线 | 查 0.9 对应 z 再还原 | 72.25 |
合理性检查（一定要教）：任何概率一定在 0 与 1 之间；若算出 1.0668 或负数，就是忘记用 1 减或查错方向。z 为负代表低于平均，不代表概率为负。
05 独立练习三题
| 题目 | 答案 | 想观察什么 |
|---|---|---|
| x = 66 的 z 与下尾概率 | z = 0.5、0.6915 | 有没有先减 62 |
| P(X 大过 74) | 0.0668 | 有没有用 1 减 |
| 最高 10%% 的分界线 | 72.25 | σ 有没有乘在 z 之后 |
06 学生常见错误与纠正句
| 错误 | 学生通常这样写 | 导师这样说 |
|---|---|---|
| 标准化次序倒转 | 写成 (62 − 70) ÷ 8 = −1 | “一定系先减平均，再除标准差，次序不可以调。” |
| 上尾忘记用 1 减 | 答 0.9332 | “表读出嚟的系‘细过’，题目问‘大过’就要 1 减。” |
| 反向查表用 0.1 | 算出 z = −1.28 得 51.75 | “要最高 10%%，即系下面 90%%，查 0.9。” |
| 忘记乘标准差 | 答 63.28 | “还原系 μ + z 乘 σ，不系 μ + z。” |
07 家课建议（直接指到练习卷题号）
- IB 数学章节索引 本页三题作课后练习
08 离场检查（最后 5 分钟）
| 题目 | 答案 | 判定 |
|---|---|---|
| x = 66 的 z | z = 0.5 | 三题全对＝可进假设检定 |
| P(X 大过 74) | 0.0668 | 错一题＝下堂前重讲上尾 |
| 最高 10%% 的分界线 | 72.25 | 错两题以上＝回到第三幕 |
09 导师常问
公式手册有 Φ 表吗？
有标准正态表，但考试通常直接给概率或要求用计算机功能。
要背 68-95-99.7 吗？
要，IB 常考用一个标准差区间做合理性检查。
计算机型号有关系吗？
GDC 可以直接算 normalcdf 与 invNorm，但步骤分仍然要写。
本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。