IB 数学 AA｜概率与期望值备课指引（导师用）｜独立事件、条件概率与变异数

2026-11-05

学生识讲“独立就乘”，但一见到“已知 B 发生”就照样乘。这一堂用同一个 0.21 拆开三种问法。

本堂目标　学生能够：① 判断何时可以直接相乘；② 用 P(A∩B) ÷ P(B) 计条件概率；③ 由概率表算期望值与变异数。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
小数乘法	0.4 × 0.7 是多少	0.28
分数化小数	21 ÷ 70 是多少	0.3
平均数	0、1、2、3 的平均	1.5

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–8 分	三种问法	同时、已知、期望	讲出三者的分别
8–20 分	独立事件	P(A) = 0.4、P(B) = 0.7	算出 0.28
20–34 分	条件概率	已知 P(A∩B) = 0.21、P(B) = 0.7	算出 0.3
34–48 分	期望值	0.2、0.3、0.4、0.1 配 0–3	算出 1.4
48–56 分	变异数	E(X²) − E(X)²	算出 0.84
56–60 分	离场检查	三题收回即批	独立完成

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：独立才乘：先证明独立，再乘

若 A 与 B 独立，P(A∩B) = P(A) × P(B) = 0.4 × 0.7 = 0.28。
反过来，题目给你 P(A∩B) = 0.21 而 P(A)P(B) = 0.28，两个不等，就证明 A、B 不独立。

要学生判断：0.21 同 0.28 相差的意义是什么（两件事有关联）。

第二幕：条件概率：分母换成已知事件

P(A|B) = P(A∩B) ÷ P(B) = 0.21 ÷ 0.7 = 0.3。
最常见的错是写成 0.21 ÷ 0.4；分母一定是“已知发生”的那件事，不是被问的那件。

要学生复述：为什么分母是 0.7。

第三幕：期望与变异数：一张表做完两个数

E(X) = 0×0.2 + 1×0.3 + 2×0.4 + 3×0.1 = 1.4。
E(X²) = 0×0.2 + 1×0.3 + 4×0.4 + 9×0.1 = 2.8，所以 Var = 2.8 − 1.4² = 0.84。

提醒：Var 不是 E(X²)，一定要减去期望值的平方。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
独立事件	P(A) 0.4、P(B) 0.7	直接相乘	0.28
条件概率	P(A∩B) 0.21、P(B) 0.7	交集除已知事件	0.3
期望值	概率表 0–3	Σ x·P(x)	1.4
变异数	E(X²) 2.8、E(X) 1.4	E(X²) − E(X)²	0.84

合理性检查（一定要教）：所有概率相加一定是 1（本题 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.1 = 1）；若相加不等于 1，表就有漏项，期望值一定错。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
独立事件的交集概率	0.28	有没有先确认独立
P(A\|B) 的值	0.3	分母是 0.7 而非 0.4
期望值与变异数	E = 1.4、Var = 0.84	Var 有没有减 E(X)²

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
条件概率分母用错	算出 0.525	“分母系已知发生的事件，即 P(B)。”
把不独立当独立乘	直接写 0.28	“题目已给 0.21，乘出嚟的 0.28 就系错。”
变异数忘记减平方	答 Var = 2.8	“Var = E(X²) − E(X)²，要减。”
概率和不等于 1	表加起来 0.9	“四个概率加起一定要系 1，不系就漏项。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

IB 数学章节索引　本页三题作课后练习

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
P(A∩B)（独立）	0.28	三题全对＝可进正态分布
P(A\|B)	0.3	错一题＝下堂前重讲条件概率
E(X) 与 Var	E = 1.4、Var = 0.84	错两题以上＝回到第三幕

09　导师常问

公式手册有概率公式吗？

部分有，但条件概率的定义要自己写得出。

Var 与标准差分别？

标准差是变异数开方，单位与原本数据一致。

要背概率表吗？

不用，但要把 ΣP(x) = 1 当检查步骤。

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本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。