中一数学｜平均数、中位数、众数备课指引（导师用）｜三个“平均”分别、极端值影响与加权平均

2026-11-14

同一班八个分数 9 至 22，平均数 15.75、中位数 15、众数 15，三个数字差不多，学生就以为三个概念一样。加一个 30 分之后，平均数升到 17.33，中位数与众数原地不动，分别才现形。

本堂目标　学生能够：① 用 9、12、15、15、15、18、20、22 算出平均数 15.75、中位数 15、众数 15，并讲出中位数要先排序；② 加一个 30 分之后算出平均数升到 17.33，而中位数与众数不变，并讲出“极端值拉平均数不拉中位数”；③ 用 5 个数平均 12 逆算出缺的一个数是 12，并算出 20 人平均 60 加 30 人平均 70 的加权平均是 66。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
加法与除法	8 个数加埋 126，平均系几多？	126 ÷ 8 = 15.75
由小到大排序	把 12、9、22、15 排好	9、12、15、22
分数与小数	126 ÷ 8 写成分数系什么？	63/4，即 15.75

02　课堂流程（45 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–5 分钟	三个“平均”	板书三个词：平均数、中位数、众数，问“边个系你平时讲的平均”	讲出自己用过哪一个
5–15 分钟	平均数	把 9、12、15、15、15、18、20、22 加埋得 126，除 8 得 15.75	自己算出 126 与 15.75
15–24 分钟	中位数要排序	先排序，八个数取中间两个 15 与 15，平均得 15	讲出八个数要取第 4、5 个
24–33 分钟	加一个 30 分	加 30 之后 n 变 9、总和 156，平均 17.33；再问中位数与众数	算出 17.33 并讲出中位数仍 15
33–41 分钟	逆算与加权	五个数平均 12、四个系 10、11、13、14，求第五个；再做 20 人 60 加 30 人 70	算出 12 与 66
41–45 分钟	离场检查	三题口头：三个值边个、加极端值影响边个、逆算	举手作答并讲理由

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：第一幕：平均数系“平分”

“平均数最简单：把所有数加埋，再平均分给每个人。9、12、15、15、15、18、20、22 加埋系 126，八个人分，每人 15.75。你可以理解成把八个人的分数倒在一起，再平均倒回八杯。所以平均数不一定是原本出现过的数，15.75 从来没有人考过。”

要学生复述：加埋再除，平均数可以不存在

第二幕：第二幕：中位数要先排队

“中位数系排队排中间那个。八个数排好：9、12、15、15、15、18、20、22。八个人没有一个正中间，所以取第 4 个同第 5 个，两个都系 15，平均都系 15，中位数就系 15。如果系七个数，就正好取第 4 个，不需要平均。”

要学生复述：先排序，双数取中间两个

第三幕：第三幕：极端值只拉平均数

“现在加一个 30 分的插班生。总和变 156，九个人分，平均升到 17.33，升了一分半。但中位数呢？排好之后第 5 个仍然系 15，没有变；众数仍然系 15，因为 15 出现三次。所以如果有人想用一个数字代表全班，而班入面有极端值，中位数比平均数稳阵。加权平均就系另一件事：20 人平均 60、30 人平均 70，不可以 (60 + 70) ÷ 2 = 65，要 (20 × 60 + 30 × 70) ÷ 50 = 66，因为人多的一班讲话大声。”

要学生复述：极端值拉平均数不拉中位数

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
求三个集中趋势	9、12、15、15、15、18、20、22 的平均数、中位数、众数	（1）加埋除 n 得平均数（2）排序取中（3）数出现最多的（4）三个都要写	15.75、15、15
加一个极端值	加 30 分之后三个值怎样变？	（1）n 加 1（2）总和加 30（3）重新排序（4）比较三者	17.33、15、15
逆算缺的数	五个数平均 12，其中四个系 10、11、13、14	（1）总和 = 5 × 12（2）减去四个已知（3）得答案（4）验算	60 − 48 = 12
加权平均	20 人平均 60 公斤，30 人平均 70 公斤，合起来平均？	（1）各自乘人数得总和（2）总和相加（3）除总人数（4）不可直接平均两个平均数	(1200 + 2100) ÷ 50 = 66 公斤

合理性检查（一定要教）：合理性检查：平均数一定在最小与最大之间，15.75 在 9 与 22 之间合理；中位数一定出现在排序后的中间位置，15 在八个数的中间合理；众数一定要真的出现过，15 出现三次才叫众数；加极端值后平均数只会向极端值方向移，17.33 大过 15.75 合理；加权平均一定落在 60 与 70 之间，66 合理，若算出 65 就系没有加权；逆算答案 12 一定是正数而且要小于 22。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
7 个数 3、5、5、8、9、12、15，求三个集中趋势	平均 57 ÷ 7 ≈ 8.14，中位数 8，众数 5	三个值都不同，答“都系 8”就系未分清
10 个学生平均 48 公斤，加一个 59 公斤的学生	(480 + 59) ÷ 11 = 49 公斤	忘记把 48 乘 10 就会写成 (48 + 59) ÷ 2
五个数平均 12，其中四个 10、11、13、14，求第五个	5 × 12 − 48 = 12	要写出总和 60 与 48 两个数

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
中位数不排序	“9、12、15、15、15、18、20、22 中间系 15 同 15，不过我看第五个就算。”	“不排序，中间那个只系碰巧。原数 12、15、15、18、20、15、22、9 的中间两个系 20 同 15，平均值 17.5，完全错。规则第一句永远系：先排序。”
众数当成最多的数量	“众数系 22，因为最大。”	“众数系出现次数最多的数，不系最大那个。15 出现三次，其他只一次或两次，所以众数 15。”
把两个平均数直接平均	“两班平均 60 同 70，合起来 65。”	“两班人数不同：20 人同 30 人。要 (20 × 60 + 30 × 70) ÷ 50 = 66。人多那班权重较大，所以答案偏向 70。”
逆算时忘记乘 n	“五个数平均 12，减去 48 就得。”	“总和系 5 × 12 = 60，不系 12。60 减 48 得 12，第五个数系 12；若直接 12 − 48 就变负数，明显不合理。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

重做本章第一幕：用自己最近一次默书的分数，算平均数、中位数、众数　本章练习第一题
找一则新闻用到“平均”的数字，讲出用平均数会否被极端值影响　本章练习第二题
预习：班内男女两组各自的平均身高，再算全班的加权平均　本章练习第三题

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
平均数、中位数、众数，边个一定要先排序？	中位数；众数只需数次数	答三个都要就要重讲第二幕
加一个很大的数，三个值哪个会变？	平均数会变，中位数与众数多数不变	答三个都变就要重讲第三幕
20 人平均 60、30 人平均 70，合起来平均几多？	66，要按人数加权	答 65 就要重讲加权

09　导师常问

众数可以有多过一个吗？

可以。若两个数同样出现最多，就叫双众数，两个都要写出来，不能只挑一个。

平均数用小数还是分数写？

两个都可以，但要一致。15.75 与 63/4 是同一个值，题目要求几多位小数就跟题目。

为什么要教加权平均，中一不是只考平均数？

一考就考在一起：两班合并、男女合计都是加权。不教加权，学生会一直用 (a + b) ÷ 2。

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