中四数学｜图像变换备课指引（导师用）｜平移、伸缩、反射与顶点追踪

2026-11-01

学生把 y = f(x − 3) 当成向左移三格；这一堂用“输入慢了就要走快些”的讲法，把左右平移的方向一次讲清。

本堂目标　学生能够：① 讲出 y = f(x) + k、y = f(x − h)、y = af(x)、y = f(bx)、y = −f(x) 各自怎样改图；② 追踪顶点与根，由 f(x) 的顶点直接写出变换后的顶点；③ 分辨“乘在外面”与“乘在里面”的分别，并解释为何左右平移方向与直觉相反。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
二次函数	配方找顶点	顶点 (1, -1)
函数记法	f(x) 是输入输出的机器	f(2) 代入 x = 2
解方程	因式分解求根	根 0 与 2

02　课堂流程（50 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–8 分	基准图	y = x² − 2x，顶点 (1, −1)	根 0、2
8–18 分	加减：上下平移	f(x) + 3	顶点 (1, 2)
18–30 分	加减在括号内：左右平移	f(x − 3)	顶点 (4, -1)
30–40 分	乘外面 vs 乘里面	2f(x) 与 f(2x)	顶点 (0.5, -1)
40–46 分	负号：反射	−f(x) + 3	顶点 (1, 4)
46–50 分	离场检查	三题即场判	独立作答

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：基准图：先固定三个参照点

y = f(x) = x² − 2x = (x − 1)² − 1，顶点 (1, -1)，开口向上，与 x 轴交于 0 与 2，y 截距 0。
教变换前一定要学生把这三个参照点写在纸上（顶点、两个根），之后每做一个变换就只追这三点，不要每次重新画整条曲线。这个习惯能把变换由“画图”变成“追点”，快十倍而且不易错。顺便讲：形状不变的变换（平移、反射）只需追顶点；涉及伸缩时，开口阔窄也要讲。

要学生做：把 f(x) 配方，写出顶点、根、y 截距三个数。

第二幕：平移：加在外面与加在里面的分别

加在外面：y = f(x) + k，输出加 k，所以整条图向上移 k。例如 f(x) + 3 的顶点是 (1, 2)。加在里面：y = f(x − 3)，要令括号内等于原本的输入，x 就要大 3，所以图向右移 3，顶点由 (1, −1) 移到 (4, -1)，展开就是 x² − 8x + 15，根由 0、2 变成 3、5。
口诀：括号内“减”向右、加向左，与直觉相反。可以这样讲：机器迟三秒才反应，成品就要迟三秒出现。要学生分清：外面的加减改 y，里面的加减改 x，而且方向相反。常见错误是把 f(x − 3) 当成左移，然后又用“左加右减”的旧口诀自我混乱。

要学生做：写出 f(x + 2) 的顶点与根，并讲出它与 f(x − 3) 的方向分别。

第三幕：伸缩与反射：乘在外面改高度，乘在里面改阔窄

纵向：y = 2f(x)，所有 y 值乘 2，顶点 y 由 −1 变 -2，根不变（因为 y = 0 乘 2 仍然是 0）。横向：y = f(2x)，x 要减半才得出同一个输出，所以图向横压缩一半，顶点 x 由 1 变 0.5，展开是 4x² − 4x，根变成 0 与 1。
反射：y = −f(x) 上下反转，开口向下；y = f(−x) 左右反转；两者一起做就是绕原点转 180°。组合例子：y = −f(x) + 3，先反转再上移 3，顶点 (1, 4)，根 -1 与 3。次序很重要：先做括号内的，再做外面的乘，最后做外面的加。要学生习惯写“步骤 1、2、3”，不要一次跳完。

要学生做：由 f(x) 出发，逐步写出 y = −f(x) + 3 的顶点与根，并画草图。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
上下平移	f(x) + 3	y 值加 3，形状不变	顶点 (1, 2)
左右平移	f(x − 3)	括号内减 → 向右	顶点 (4, -1)
纵向伸缩	2f(x)	y 乘 2，根不变	顶点 (1, -2)
横向伸缩	f(2x)	x 减半	顶点 (0.5, -1)

合理性检查（一定要教）：原图顶点 (1, -1)，向上移 3 之后 y 应该是 2，若学生答成 x 变 4 就是把方向搞反。横向压缩之后顶点 x 只会变细（0.5），若变大就代表当成拉伸。反射后开口向下，顶点 y 应为 4，比原本高，因为先反转再上移。所有答案都要符合“根是否仍在 x 轴上”这个常识检查。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
f(x) 顶点 (2, −4)，y = f(x) + 5 的顶点？	(2, 1)	只改 y
y = f(x + 2) 相对 f(x) 怎样移？	向左 2 格	括号内加 → 向左
f(x) 根为 1 与 4，y = 3f(x) 的根？	仍然是 1 与 4	y = 0 乘 3 仍是 0

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
f(x − 3) 向左移	把加减方向搞反	“括号内减三，代表输入迟了三，图就要向右走三格。”
2f(x) 与 f(2x) 混淆	以为两者都是“拉高两倍”	“乘外面改高度，乘里面改阔窄，一个纵一个横。”
伸缩改变根	写“2f(x) 的根变成两倍”	“根系 y = 0 的位置，零乘二仍然是零，所以根不变。”
变换次序乱做	先加再乘，答案差好远	“先括号内、再外面乘、最后外面加，次序不可以调。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

中学数学章节索引（二次方程、对数、三角、概率）　先做二次方程再做图像变换
中学备课指引总览　全科索引

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
y = f(x − 4) 向哪边移？	向右 4 格	错＝重讲第二幕
f(3x) 对图有什么影响？	横向压缩成三分之一	错＝重讲第三幕
2f(x) 的根会否改变？	不会	错两题以上＝回到第一幕

09　导师常问

这一章适合哪个年级？

中四，DSE 数学“函数与图像”单元；中五重温二次函数时也用得上。

要记几多条规则？

五条：外面加减上下移、里面加减左右移、外面乘纵伸缩、里面乘横伸缩、负号反射。

有无配套练习？

家课栏连到数学章节索引，可配二次方程与对数章节顺序排。

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本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。