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DSE 数学｜不等式与线性规划 备课指引（导师用）｜可行域、顶点法与最大利润
学生识画一条直线，但一加上“≤”就不知应该涂边一边；到应用题更把“最多”同“最少”掉转。这一堂只做三件事：把不等式变成一条有方向的界线、把可行域画出来、把答案只交给顶点。
本堂目标 学生能够：① 由不等式画出对应直线并判断涂哪一边；② 画出可行域并标明顶点；③ 用顶点法求 P = ax + by 的最大或最小值；④ 由文字题列出三条约束并写出目标函数。
01 先备知识（开课前 3 分钟快检）
以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：
| 技能 | 快检题 | 过关标准 |
|---|---|---|
| 直线方程 | y = mx + c 中 m 代表什么 | 斜率 |
| 解联立方程 | 两条直线相交点的求法 | 代入法或消元法 |
| 不等式方向 | 乘或除负数时符号怎样变 | 不等号要反转 |
02 课堂流程（60 分钟）
| 时间 | 环节 | 导师做什么 | 学生做什么 |
|---|---|---|---|
| 0–10 分 | 不等式与图示 | 先画线，再试一点 | 代 (0,0) 判断方向 |
| 10–24 分 | 可行域 | 三条约束叠起来 | 顶点 (6, 4) 在交界 |
| 24–40 分 | 顶点法 | 只算顶点，不算内部 | P 最大 26 |
| 40–52 分 | 文字题建模 | 每句一个约束 | “最多”是 ≤、“至少”是 ≥ |
| 52–60 分 | 练习与离场检查 | 三题独立完成 | 错一题回第二幕 |
03 讲解脚本（照着说就可以）
第一幕：第一幕：不等式是一条“有方向的界线”
先把不等式当等式画直线，再用一个测试点（通常原点）判断涂哪一边。例如 x + y ≤ 10：画 x + y = 10，代 (0,0) 得 0 ≤ 10 成立，所以涂靠近原点的一边。若不等式是 y > 2x，界线用虚线，因为界线上的点不合。
要学生讲：为何要试点而不是看符号？（x 与 y 的系数可正可负，单看符号会判错。）
要学生讲：为何要试点而不是看符号？（x 与 y 的系数可正可负，单看符号会判错。）
要学生做：把 2x + y ≤ 16 画出来并写出两个在界线上的整数点。
第二幕：第二幕：可行域是“三条线的交集”
三条约束同时成立，就是三个半平面的重叠部分。本题 x + y ≤ 10、2x + y ≤ 16、x ≥ 2 的可行域是四边形，顶点为 (2, 0)、(8, 0)、(6, 4)、(2, 8)。求顶点只做两件事：两条界线解联立，或一条界线配一条 x = 常数／y = 0。
要学生讲：可行域为什么一定是凸多边形？（半平面交集，边界是直线。）
要学生讲：可行域为什么一定是凸多边形？（半平面交集，边界是直线。）
要学生做：把四个顶点逐一写出，并检查每个都符合三条不等式。
第三幕：第三幕：最大值只会出现在顶点
P = 3x + 2y 在四个顶点的值分别是 6、24、26、22。最大是 26，出现在 (6, 4)；最小是 6。线性函数在凸多边形上的极值必在顶点，所以不必试内部点，但要四个顶点全算，不能只算“看起来最大”那个。
要学生讲：若两点 P 值相同，代表什么？（目标函数与该边平行，整条边都是最优解。）
要学生讲：若两点 P 值相同，代表什么？（目标函数与该边平行，整条边都是最优解。）
要学生做：把 P 改成 2x + 3y，重算最大值并讲出顶点有无改变。
04 必教题型与步骤
| 题型 | 例子 | 步骤 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 画不等式图示 | 给不等式 | 画界线＋试点 | 实线或虚线先决定 |
| 求可行域顶点 | 给三条约束 | 两线联立或配截距 | (6, 4) |
| 顶点法求极值 | 给目标函数 | 逐个顶点代入比较 | 最大 26 |
| 文字题建模 | 给情境与限制 | 每句写一条不等式 | “至少”＝≥ |
合理性检查（一定要教）：顶点 (6, 4) 代入 2x + y 得 16，刚好在界线上，符合 ≤；代入 x + y 得 10，同样贴界。P = 3 × 6 + 2 × 4 = 26，比相邻顶点的 24 与 22 都大，方向合理。可行域一定要有界；若三条约束围不成封闭区域，就没有有限最大值，这是常见的题目陷阱。整数解题目要在最后检查顶点是否为整数，非整数时要测邻近整数点。
05 独立练习三题
| 题目 | 答案 | 想观察什么 |
|---|---|---|
| x + y ≤ 10、2x + y ≤ 16、x ≥ 2 的可行域有几个顶点 | 4 个 | 逐条界线交点 |
| P = 3x + 2y 的最大值 | 26 | 在 (6, 4) |
| 同一可行域下 P = 2x + 3y 的最大值 | 26 | 重新逐点代入 |
06 学生常见错误与纠正句
| 错误 | 学生通常这样写 | 导师这样说 |
|---|---|---|
| 涂错半平面 | 把 x + y ≤ 10 涂成远离原点那边 | “代 (0,0) 试一次，0 ≤ 10 成立就涂原点𠮶边。” |
| 界线用实线 | y > 2x 都画实线 | “> 同 < 系空心，不包界线，要用虚线。” |
| 只算一个顶点 | 见到 (8, 0) 最大就交卷 | “四个顶点全部要代，边个大要计过先知。” |
| 文字题漏约束 | 只写产量上限，漏了最低产量 | “每句‘至少’‘最多’都系一条不等式，漏一句可行域就错。” |
07 家课建议（直接指到练习卷题号）
08 离场检查（最后 5 分钟）
| 题目 | 答案 | 判定 |
|---|---|---|
| x + y ≤ 10 与 2x + y ≤ 16 的交点 | (6, 4) | 三题全对＝可进文字题 |
| P = 3x + 2y 的最大值 | 26 | 错一题＝下堂重讲顶点法 |
| 可行域的顶点数目 | 4 个 | 错两题以上＝回到第一幕 |
09 导师常问
为何不用试可行域内部的点？
目标函数是线性的，在凸多边形上的最大值与最小值必定出现在顶点，内部点只会得到中间值。
可行域无界会怎样？
若约束围不成封闭区域，目标函数可能无限增大，题目就不会有有限的最大值，通常只问最小值。
整数规划与线性规划有何分别？
整数规划要求 x、y 为整数，最优点未必在顶点，要在最优顶点附近试整数组合。
本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。
