DSE 数学｜对数与指数方程备课指引（导师用）｜对数律、换底、指数方程四步

2026-11-01

学生识按计数机的 log 键，但一问“log₂64 点解系 6”就答不出。这一堂要把对数拉回“问指数是多少”这一条问题。

本堂目标　学生能够：① 把 aˣ = b 与 logₐb = x 互相改写；② 用 log(xy) = log x + log y、log(x/y)、log xⁿ = n log x 拆项；③ 用“两边取对数”解 aˣ = b 并按题意取整。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
指数律	2³ × 2² 等于 2 的几次方	2⁵ = 32
开方	9 的 1.5 次方	27
计数机	log 7 ÷ log 3 按出来大约多少	约 1.77

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–5 分钟	开场快问	写 2ˣ = 32，问“x 是多少，你怎样知道”	举手答并讲方法
5–15 分钟	先备快检	三条指数律快检，逐条核	书面作答
15–35 分钟	三幕讲解	照脚本讲定义、三条律、两边取对数	每幕后复述一句
35–45 分钟	题型示范	示范改写、拆项、指数方程各一题	跟抄并标步骤编号
45–55 分钟	独立练习	巡行，只问“你有无两边取对数”	做三题并自对
55–60 分钟	离场检查	收答案，即场数错	书面作答

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：第一幕：对数就是“指数是多少”

“log₂64 不系一个新怪物，他问的系：2 要自乘几多次才等于 64？2⁶ = 64，所以答案是 6。同样 log₃81 = 4，因为 3⁴ = 81。要留意三条底线：底数要正且不等于 1；真数要正，log 0 同 log 负数都无定义；logₐ1 = 0，因为任何数的 0 次方都是 1。答题时见到 log 就不要急按机，先问“边个指数”。”

“log₂64 这个写法在问什么？”

第二幕：第二幕：三条律由指数律直接搬过来

“对数律不是新发明，是指数律的影子。2³ × 2⁴ = 2⁷，指数相加；所以 log(xy) = log x + log y。同理 2⁷ ÷ 2³ = 2⁴，指数相减，就有 log(x/y) = log x − log y；(2³)² = 2⁶，指数相乘，就有 log xⁿ = n log x。第三条最有用：见到 2ˣ = 7，两边取 log，得 x log 2 = log 7，x = log 7 ÷ log 3？错，系除以 log 2，答案大约 1.77。”

“三条对数律分别对应哪一条指数律？”

第三幕：第三幕：指数方程四步

“第一步，底数如果可以统一就先统一：9ˣ = 27 写成 3²ˣ = 3³。第二步，底数统一到就比较指数，2x = 3。第三步，不能统一就两边取对数：1.05ⁿ = 2，n = log 2 ÷ log 1.05。第四步，按题意取整：14.2 年，问“最少要几年”就答 15 年，不是 14 年。取整方向答错，方法全对都会扣分。”

“什么时候比较指数，什么时候两边取对数？”

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
改写对数式	把 5³ = 125 写成对数式。	① 找底数 5；② 指数 3；③ 结果 125 是真数 → log₅125 = 3。	log₅125 = 3
拆项化简	化简 log 8 + log 5 − log 4（以 10 为底）。	① 加变乘、减变除：log(8×5÷4)；② 8×5÷4 = 10；③ log 10 = 1。	1
指数方程（可统一底数）	解 9ˣ = 27。	① 9 = 3²、27 = 3³；② 3²ˣ = 3³；③ 2x = 3。	x = 1.5
指数方程（要取对数）	解 3ˣ = 7（三位小数）。	① 两边取 log；② x = log 7 ÷ log 3；③ 1.7712。	x ≈ 1.771

合理性检查（一定要教）：合理性检查：答案代回原式要对——9^1.5 = 27 用计数机核一次；log₂64 应为整数 6，若得 5 或 7 就是乘错次数；n = 14.21 这类答案要检查“取整方向”：1.05^14 = 1.98 未够 2，所以要 15。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
求 log₄64。	3（4³ = 64）	是否把 4 与 64 的次方关系拉对
解 2³ˣ = 64。	x = 2（2⁶ = 64，3x = 6）	有没有先统一再比较指数
若 log₂x = 5，求 x。	32	是否把对数式改回指数式而不是反过来

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
底数与真数调转	把 log₅125 写成 log₁₂₅5	“细的数系底，大的数系真数；你写反了，答案就变成分数。”
拆项时把加变乘错方向	log 8 + log 5 写成 log 40 却又再乘 5	“加就对应乘，只做一次，不好做两次。”
两边取对数除错底	x = log 7 ÷ log 3 却写成 ÷3	“除的系 log 3，不系 3；分母要有 log。”
取整方向错	14 年就答“够”	“1.05 的 14 次方仍然细过 2，最少要 15 年才够。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

中学数学章节索引（二次方程、函数、三角、概率与统计）　全科章节，先做对数一章
中学备课指引总览　全科索引

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
求 log₅125。	3	错＝重讲第一幕定义
解 9ˣ = 27。	x = 1.5	错＝重练统一底数
解 2ˣ⁻¹ = 16。	x = 5	错两题以上＝回到第三幕四步

09　导师常问

这一章适合哪个年级？

中四至中六，DSE 数学必修部分的指数与对数题都用得上。

可以只用计数机吗？

计算可以用，但改写与拆项必须手写，否则卷一 long question 拿不到方法分。

有无配套练习？

家课栏连到数学章节索引，可配二次方程与函数章节顺序排。

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本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。