DSE 数学｜概率与统计入门备课指引（导师用）｜52 张牌、36 个点数结果、一组 5 个数据

2026-11-03

学生多数“识计”但讲不出分母从哪里来。这一堂所有答案都由样本空间数出来，不由公式背出来。

本堂目标　学生能够：① 写出一个实验的样本空间并数出总结果数（52 张牌、36 个骰子结果）；② 分辨何时用加法法则、何时用乘法法则，并讲出“互斥”与“独立”的分别；③ 由一组 5 个数据算出平均数、中位数、众数与标准差，并讲出每个统计量回答什么问题。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
分数与百分数	将 12/52 约到最简	3/13
平均数	四个数的平均怎样计	总和除以数量
平方根	8.8 的平方根大约是多少	约 2.97

02　课堂流程（45 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–8 分	数分母	由 52 张牌与两粒骰开始，要求写出完整样本空间	52 与 36 都由学生数出
8–20 分	加法还是乘法	两个法则各示范一题，讲清互斥与独立	每题先讲用哪个法则
20–32 分	期望值	用两粒骰的和示范期望值 3.5	讲出 3.5 不是任何一次结果
32–40 分	五个统计量	用 [4, 7, 7, 9, 13] 计平均、中位、众数、标准差	标准差 ≈ 2.97
40–45 分	离场三问	即场批，错即场改	三题全对

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：先数分母，不背公式

一副牌 52 张、4 种花色、每种 13 张。问“抽到红心”的概率，先要学生写出分母：全部可能结果 52 个，红心 13 个，所以 13/52 = 0.25。
再问“抽到人头牌（J、Q、K）”，人头共 12 张，概率 12/52 ≈ 0.23。两题的分母一样，分子不同，学生就会明白分母是“所有结果”，不是“我关心的结果”。
然后转两粒骰：结果不是 12 个而是 36 个，因为 (1,2) 与 (2,1) 是两个结果。这一步一定要学生自己列出 6×6 的表，写完才讲“和是 7 有 6 个组合”。

要学生讲：为什么两粒骰有 36 个结果而不是 12 个？

第二幕：加法讲“或者”，乘法讲“然后”

加法法则处理“A 或者 B”：P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)。抽一张牌是红心或者人头的机会，要把重复算的人头红心扣一次。互斥事件（不可能同时发生）才可以不扣。
乘法法则处理“先 A 然后 B”：只有独立事件才可以直接相乘，否则要用条件概率。教科书最常考的分别就在这里：掷两粒骰，第一粒的结果不影响第二粒，所以独立；抽两张牌不放回，第二张的概率会变，所以不独立。
教法固定一句话：先问“或者”还是“然后”，再问“会不会互相影响”。两个答案决定用哪条式。

要学生讲：抽两张牌不放回，为什么第二张抽到红心的概率不再是 1/4？

第三幕：平均数答“典型”，标准差答“稳定”

用 [4, 7, 7, 9, 13] 这组数：总和 40，5 个数，平均数 8；排序后中间是 7；出现最多的是 7；全距 9。
标准差先算每个数与平均数的差距，平方，平均，再开方：差距是 −4、−1、−1、1、5，平方和 44.0，除以 5 得 8.8，开方约 2.97。
四个统计量各有分工：平均数讲典型值、中位数抵抗极端值、众数讲最常见、标准差讲分散程度。学生只会讲“平均数大些就叻些”，是因为没有人告诉他每个数字在答什么问题。

要学生讲：如果加入一个 100，平均数与中位数哪个变动较大？

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
样本空间计数	两粒骰同时掷，和是 7 的概率是多少？	列表或数组合，分母写 36，分子数出 6	6/36 = 1/6
加法法则	抽一张牌，是红心或者人头的概率	先加再扣交集，讲明是否互斥	13/52 + 12/52 − 3/52 = 22/52
期望值	掷一粒骰一次，期望值是多少？	每个结果乘概率再相加，讲明期望值不是可能结果	3.5
标准差比较	两组数据平均数相同，哪组较稳定？	先看全距，再算标准差，最后用文字解释	标准差较小者较稳定

合理性检查（一定要教）：检查数字与时间：52 张牌、4 种花色、每种 13 张，人头 12 张；两粒骰 36 个结果，和是 7 有 6 个组合，概率 0.167。[4, 7, 7, 9, 13] 的平均数 8、中位数 7、标准差 2.97。所有数字都可以由学生自己数与算，不需要查表。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
掷两粒骰，求和大于或等于 10 的概率。	6/36 = 1/6（4+6、5+5、5+6、6+4、6+5、6+6）。	分母是否写 36，以及是否把 (5,6) 与 (6,5) 都算进去
一副牌抽一张，求是红心或者 A 的概率。	13/52 + 4/52 − 1/52 = 16/52 = 4/13。	是否扣掉红心 A 这个交集
数据 [4, 7, 7, 9, 13]，求平均数与标准差。	平均数 8，标准差约 2.97。	是否用除以 5（不是除以 4），以及单位

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
分母用错	两粒骰的和是 7，答 1/12	“结果总数是 36，不是 12；先把表列出来。”
互斥与独立混淆	“抽两张牌，两张都是红心的概率是 1/4 × 1/4”	“第二张的时候牌少了，红心也少了，两个事件不独立。”
期望值当预测	“期望值 3.5，所以下一次一定掷到 3 或 4”	“期望值是长期平均，一次结果不会是 3.5。”
标准差除以 n−1	样本标准差与总体标准差混用	“DSE 这一科用除以 n，除非题目明讲样本。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

DSE 数学概率练习卷　概率部分第 1 至 4 题：每题先写样本空间与结果总数，再写分子，限 20 分钟。
同一份卷统计部分　第 5 至 7 题：用 [4, 7, 7, 9, 13] 这组数计平均数、中位数、众数与标准差，每个答案旁写一句它回答什么问题。

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
两粒骰的结果总数	36	答 12 表示未建立有序对的概念
掷一粒骰的期望值	3.5	答 3 或 4 表示仍当期望值是预测
[4, 7, 7, 9, 13] 的中位数	7	答 8 表示把中位数与平均数混淆

09　导师常问

标准差公式要背吗？

要，但先要学生讲得出“先减平均、再平方、再平均、再开方”四步，否则背了也不会用。

期望值可以是分数或小数吗？

可以，期望值不一定是可能出现的结果，这正是它与概率不同的地方。

中位数与平均数几时分别最大？

数据有极端值时，例如加入一个 100，平均数会被拉高，中位数几乎不变。

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本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。