DSE 数学｜二次方程与判别式备课指引（导师用）｜Δ＝16、根 1 与 5、k＝±6 三条界线

2026-11-03

学生识用公式，但一见“求 k 的范围”就停手，因为他们未把判别式当成开关。这一堂用 Δ＝16 与 k＝±6 两个数字，把三种情况变成可背可用的判断。

本堂目标　学生能够：① 用因式分解、配方法与公式三种方法解 x² − 6x + 5 ＝ 0，讲出三法各自的适用时机；② 由 Δ ＝ b² − 4ac 判断两相异实根、重根、无实根，并反过来求 k 的范围；③ 用 α + β 与 αβ 检查答案，并用“周界 20、面积 21”的应用题示范建模。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
因式分解	x² − 6x + 5 可分解成什么	(x − 1)(x − 5)
完全平方	(x − 3)² 展开是什么	x² − 6x + 9
负数开方	√(−4) 在实数中有意义吗	没有，所以无实根

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–10 分	三种解法	因式分解、配方法、公式	同一题三法各做一次
10–22 分	判别式	Δ ＝ b² − 4ac，三种情况	Δ＝16 → 两相异实根
22–32 分	求 k	令 Δ ＝ 0 解 k	k² ＝ 36 → k ＝ ±6
32–42 分	根的和积	α + β ＝ −b/a、αβ ＝ c/a	用 6 与 5 验算
42–54 分	应用题	设未知数、建方程、舍不合理解	周界 20、面积 21 → 3 与 7
54–60 分	离场检查	三题即场作答	Δ、k、根三项全中

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：第一幕：三种解法，同一题走三次

写 x² − 6x + 5 ＝ 0。因式分解：(x − 1)(x − 5) ＝ 0，得 1 与 5。
配方法：x² − 6x + 5 ＝ (x − 3)² − 4 ＝ 0，所以 (x − 3)² ＝ 4，x − 3 ＝ ±2，同样得 1 与 5；顺带指出顶点 (3, −4) 与最小值 −4。
公式：Δ ＝ (−6)² − 4×1×5 ＝ 36 − 20 ＝ 16，√16 ＝ 4，x ＝ (6 ± 4) ÷ 2，得 5 与 1。
重点不是边个快，而是：因式分解快但要看得出，配方揭示图像，公式永远有效。

三法答案必须一致，否则重做。

第二幕：第二幕：判别式是一个开关

Δ ＞ 0：两个相异实根（抛物线与 x 轴交两点）；Δ ＝ 0：一个重根（相切）；Δ ＜ 0：无实根（不相交）。
反向题：x² + kx + 9 ＝ 0 有重根，求 k。令 Δ ＝ k² − 4×1×9 ＝ 0，k² ＝ 36，k ＝ 6 或 −6。要学生写齐两个答案，很多只写 6。
再示范范围题：x² + kx + 9 ＝ 0 有两个相异实根 → k² − 36 ＞ 0 → k ＞ 6 或 k ＜ −6，并用数线说明为何是“或”不是“且”。

Δ 是一个开关：>0、=0、<0 三种讲法。

第三幕：第三幕：根的和积与应用题

α + β ＝ −b/a ＝ 6，αβ ＝ c/a ＝ 5：解完一定回头验，两秒钟就能抓到符号错。
应用题：长方形周界 20、面积 21，求边长。设长为 x，阔为 10 − x，则 x(10 − x) ＝ 21，即 x² − 10x + 21 ＝ 0，Δ ＝ 100 − 84 ＝ 16，x ＝ (10 ± 4) ÷ 2 ＝ 7 或 3；两者其实是同一组边长，答 7 与 3。
提醒：应用题要写单位、要检查长度是否正数，并要答回“长同阔”。

应用题要写单位并舍去负根。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
解方程	公式法求根	写 a、b、c，先算 Δ，再代入	x ＝ (6 ± 4) ÷ 2
判别式判断	判断根的性质	计 Δ，比较 0	Δ＝16 ＞ 0 → 两相异实根
求未知数	有重根时求 k	令 Δ ＝ 0，记得 ±	k ＝ 6 或 −6
应用题	由周界面积建方程	设一个未知数，另一个用总和表示	x² − 10x + 21 ＝ 0

合理性检查（一定要教）：Δ 计错多数是符号：b ＝ −6 时 b² ＝ 36，不是 −36。
Δ ＝ 0 是一个根（重根），不是“没有根”。
开方要写 ±：k² ＝ 36 得 ±6，漏一个答案就少一半分。
应用题答案要回到情境：边长不可为负，两个根都要检查。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
x² − 6x + 5 ＝ 0 的两根	1 与 5	(x − 1)(x − 5) ＝ 0
Δ 的值	16	(−6)² − 4×1×5
x² + kx + 9 ＝ 0 有重根时的 k	6 或 −6	k² − 36 ＝ 0
周界 20、面积 21 的边长	7 与 3	x² − 10x + 21 ＝ 0

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
开方漏 ±	只答 k ＝ 6	“平方根有正负，k² ＝ 36 系两个答案，不系一个。”
Δ ＝ 0 当成无解	答“没有根”	“Δ ＝ 0 系一个根，即重根，抛物线啱啱掂到 x 轴。”
b² 符号错	答 Δ ＝ 36 − 20 ＝ 16 但写成 −16	“b 系负数，平方之后一定正，不会变负。”
应用题漏舍根	答边长 7 与 3 之后再写 −3	“负长度不存在，计到都要删。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

中学数学章节索引　第 1–5 题（三法解方程）
中学备课指引总览　第 6–8 题（判别式与 k）
DSE 数学练习　第 9 题（应用题，须写单位）

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
Δ 的值	16	答错＝重算 b²
重根时的 k	±6	漏 ± ＝重讲开方
应用题边长	7 与 3	答错＝回到建模三步

09　导师常问

三种解法要全部学吗？

要。因式分解最快，配方连图像，公式最稳，题目不同就换工具。

Δ ＜ 0 是否代表方程无解？

在实数范围无解，但仍有复数根；DSE 只需答无实根。

为何 α + β 是 −b/a？

因为 (x − α)(x − β) ＝ x² − (α + β)x + αβ，对比系数即得。

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本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。