DSE 数学｜二次方程备课指引（导师用）｜判别式、根与系数、图像交点

2026-11-01

学生识用公式，但一见“有两个相异实根，求 k 的范围”就停手，因为他们把判别式当成计根的工具，而不是判断根性质的工具。这一堂把判别式、根之和积、图像交点串成同一条线，之后三类题都是同一个起手。

本堂目标　学生能够：① 由判别式判断根的数目与性质；② 用根之和与根之积反求系数；③ 把“抛物线与直线相交”化成二次方程再判别；④ 计出顶点并解释图像与代数答案的对应。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
因式分解	十字相乘与提取公因式	x²−5x+6 = (x−2)(x−3)
二次公式	x = (−b ± √(b²−4ac)) ÷ 2a	记得整个分子除 2a
配方法	化成 (x−h)² + k	顶点 (h, k)

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–8 分	三种解法	因式分解、公式、配方法	同一题三种写法
8–20 分	判别式	Δ = b² − 4ac 的三种结果	Δ = 1 → 两相异实根
20–32 分	根与系数	和 = −b/a、积 = c/a	和 5、积 6
32–44 分	求 k 的范围	Δ > 0 解不等式	先写 Δ 再解，不跳步
44–54 分	图像交点	抛物线 = 直线 → 二次方程	交点 x ≈ 0.63 与 6.37
54–60 分	离场检查	三题收回即批	独立完成

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：判别式：不是用来计根，是用来判断

Δ = b² − 4ac。Δ > 0 两相异实根；Δ = 0 重根（一个实根）；Δ < 0 无实根。例：x² − 5x + 6 = 0，Δ = (-5)² − 4×1×6 = 25 − 24 = 1，两根是 2 与 3。
关键一句：判别式只用 a、b、c，不用开方。所以“求 k 使方程有两个相异实根”这类题，写完 Δ > 0 就变成普通一元二次不等式，与根完全无关。

要学生讲：Δ = 0 时方程的图像与 x 轴有几个交点？（一个，即顶点贴住 x 轴。）

第二幕：根与系数：由答案反推系数

若 α、β 是 ax² + bx + c = 0 的两根，则 α + β = −b/a、αβ = c/a。验证：x² − 5x + 6 = 0，和 = 5、积 = 6，与 2 + 3、2 × 3 完全一致。
反向题型：已知两根为 3 与 2，方程就是 x² − (3+2)x + (3×2) = 0，即 x² − 5x + 6 = 0。若题目讲“两根之和是 5、积是 6”，同样一步写出方程，不必解。

要学生计：两根为 −1 与 4 的方程是什么？（x² − 3x − 4 = 0，和 3、积 −4。）

第三幕：抛物线与直线：交点就是联立

求 y = x² − 6x + 5 与 y = x + 1 的交点：令两式相等，得 x² − 7x + 4 = 0，Δ = 49 − 16 = 33 > 0，所以有两个交点；x ≈ 0.63 与 6.37，对应 y ≈ 1.63 与 7.37。
顺手讲顶点：x² − 6x + 5 = (x − 3)² − 4，顶点 (3, -4)，即抛物线最低点在 x 轴之下，所以必定与 x 轴有两个交点——与 Δ > 0 的结论互相印证。提醒：交点数目 = 二次方程的实根数目，两件事是同一个 Δ。

要学生讲：若直线改成 y = 2x + 9，交点会变几个？（联立后 Δ 的正负决定，先计再答。）

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
判断根性质	x² − 5x + 6 = 0 的根	计 Δ 再判断	Δ = 1，两相异实根
解方程	2x² + 7x − 15 = 0	Δ 后代入公式	x = 1.5 或 -5
求 k 范围	x² + kx + 9 = 0 有重根	Δ = 0 → k² = 36	k = ±6
图像交点	y = x² − 6x + 5 与 y = x + 1	联立后计 Δ	两点，x ≈ 0.63、6.37

合理性检查（一定要教）：根的数目一定要与 Δ 的正负一致：1 > 0 就必然两个根。根之和 5 要等于两根相加，若算出和是 −5 就是符号抄错（−b 不是 b）。代入验算是最快的检查：把根代回原式，应该等于 0。图像题的交点 x 值必须介乎两根之间，答案 0.63 与 6.37 都在合理范围。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
x² − 7x + 12 = 0 的两根	3 与 4	因式分解或公式
2x² + 7x − 15 = 0 的判别式	169	b² − 4ac
两根为 5 与 −2 的方程	x² − 3x − 10 = 0	和 3、积 −10

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
判别式漏负号	Δ = 25 − 24 写成 25 + 24	“c 系 +6，−4ac 就系减，不系加。”
公式分母只除 2	( −b ± √Δ ) ÷ 2 之后才 ÷ a	“2a 整个做分母，不止 2。”
Δ = 0 当成无解	答“没有实根”	“Δ 等于零系一个重根，不系没有根。”
求 k 范围只写等号	k² = 36 就停手	“有两个相异实根系 Δ 大过零，要解不等式。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

中学数学章节索引　第 2、4 题同类型
备课指引总目录　同科其他章节
小学数学测验卷　基础运算热身

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
x² − 4x + 4 = 0 的根	x = 2（重根）	三题全对＝可进不等式
2x² + 7x − 15 = 0 的两根	1.5、-5	错一题＝下堂重讲公式
两根和 5、积 6 的方程	x² − 5x + 6 = 0	错两题以上＝回到第一幕

09　导师常问

为什么 Δ < 0 就没有实根？

因为公式里要开方 Δ，负数在实数范围开不到方，所以图像不碰 x 轴。

根之和为什么是 −b/a 而不是 b/a？

由 (x − α)(x − β) = x² − (α+β)x + αβ 对比系数得出，中间有个负号。

交点题一定要解出 x 吗？

问“有几个交点”只需 Δ 的正负；问“交点坐标”才要解出 x 再代回直线。

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本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。