中四数学｜正弦定理与余弦定理备课指引（导师用）

中四数学｜正弦定理与余弦定理备课指引（导师用）｜选公式、解三角形与面积计算

2026-11-01

学生三条公式都背得出，但一见题目就乱代。这一堂把选公式变成一个两步判断：先看有没有对边对角，再看向量夹角。

本堂目标　学生能够：① 用余弦定理由两边夹角求第三边、由三边求角；② 用正弦定理由一边两角求其他边并判断歧义情况；③ 用 ½ab sin C 与希罗公式求面积。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
三角比	sin 60° 等于几多	√3/2 ≈ 0.866
计数机反三角	sin B = 0.625，B 有几个可能	两个（锐角与钝角）
三角形内角和	A + B + C 等于几多	180°

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–8 分	选公式	两条题并排，先判断有无对边对角	讲出用哪一条
8–22 分	余弦定理	c² = a² + b² − 2ab cos C，代入 7、8、60°	c = 7.55
22–34 分	正弦定理	a/sin A = b/sin B，10/sin 40° 求 c	c = 14.10
34–44 分	面积	½ab sin C 与希罗公式（13/14/15）	24.25 与 84
44–54 分	歧义情况	a = 8、b = 10、A = 30°，sin B = 0.625	B = 38.7° 或 141.3°
54–60 分	离场检查	三题收回即批	独立完成

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：先判断，再代公式

两步判断：① 题目有没有一组“对边 + 对角”？有就用正弦定理；② 有没有两边及其夹角、或者三边？有就用余弦定理。
余弦定理 c² = a² + b² − 2ab cos C 其实是毕氏定理加一个修正项，C = 90° 时 cos C = 0，就退回 a² + b²。

要学生做：把课本三道题只写“用哪条公式 + 为什么”，不用计数。

第二幕：余弦定理与正弦定理的算术

① 两边 7、8，夹角 60°：c² = 7² + 8² − 2(7)(8)cos 60° = 113 − 112 × 0.5 = 57，所以 c = 7.550。
② 正弦定理：A = 180° − 40° − 65° = 75°，c = 10 × sin 65° ÷ sin 40° = 14.10。

要学生讲：同一条三角形，用余弦定理与用正弦定理算出的边应该一样；如果不同，多数是角度单位用了弧度。

第三幕：面积与歧义情况

面积两条路：已知两边夹角用 ½ab sin C = ½ × 7 × 8 × 0.866 = 24.25；只知三边用希罗公式，s = (13 + 14 + 15) ÷ 2 = 21，面积 = √(21 × 8 × 7 × 6) = 84。
歧义情况：已知 a = 8、b = 10、A = 30°，sin B = b sin A ÷ a = 0.625，B = 38.7° 或 141.3°——两个都合内角和，要验算。

提醒：题目写“求 B”而 sin B 有两个解，只写锐角那个一定扣分；要写两个并说明哪个令 A + B < 180°。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
计算	两边夹角求第三边	c² = a² + b² − 2ab cos C	c = 7.55
计算	三边求角	cos C = (a² + b² − c²) ÷ 2ab	先算 cos，再反 cos
计算	一边两角求边	a/sin A = b/sin B	c = 14.10
计算	面积	½ab sin C 或希罗公式	24.25／84

合理性检查（一定要教）：三角形最长边对最大角：c = 7.55 对 60°，若算出最大角对最短边，一定代错位。任何边长必须小于另外两边之和（7.55 < 15），否则三角形不存在。面积不可大过 ½ab（= 28），因为 sin C 最大是 1。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
a = 8、b = 10、A = 30°，求 sin B	0.625	正弦定理，b 对 B、a 对 A
三边 13、14、15，求面积	84	希罗公式，先算 s
外接圆半径（同上三角形）	8.125	R = abc ÷ 4Δ

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
把 a² 换成 c² 放错位	cos C = (a² + b² − c²) ÷ 2ab 写成 −a²	“要求的角对边放负号，另外两边放正。”
角度用了弧度	cos 60 按成弧度得 0.999	“计数机上面要见 DEG 字样。”
歧义情况只写一个解	只答 B = 38.7°	“sin B = 0.625 有两个角，两个都要写。”
面积漏乘一半	答 ab sin C = 48.50	“面积系一半，½ab sin C。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

中学数学章节索引　全科章节
DSE 数学练习卷　三角与解三角形题组

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
a = 7、b = 8、C = 60°，求 c	7.55	三题全对＝可进统计
三边 13/14/15 的面积	84	错一题＝下堂前重做希罗
a = 8、b = 10、A = 30°，B 的可能值	38.7° 或 141.3°	错两题以上＝回到第三幕

09　导师常问

两条公式要背吗？

要，但更要在题目先判断“有无对边对角”，判断对了公式自然浮出来。

几时一定要用希罗公式？

只给三边长、没有角度时；否则一律用 ½ab sin C 更快。

歧义情况一定会考吗？

DSE 间中出现，一出现就是关键分，必须写齐两个解并验内角和。

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本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。