中四数学｜统计备课指引（导师用）｜平均数、中位数、众数与标准差

2026-11-01

学生一见“统计”就按计数机，但问到“边个平均数最代表到数据”就答不出；这一堂要他们把“中心”与“散开程度”分开两件事讲。

本堂目标　学生能够：① 由未分组数据计平均数、中位数、众数，并讲出各自何时最可靠；② 计标准差，并解释它与“数据散不散”的关系；③ 由分组频数表用组中点估算平均数与标准差，讲出这是估算而非精确值。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
平均数定义	总和 ÷ 个数	155 ÷ 8
平方与开方	计数机 √ 键	√25.984
频数表	Σf = 总数	Σf = 20

02　课堂流程（50 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–10 分	三个平均数	数据 8 个	平均 19.375／中位 19.0／众数 15
10–22 分	标准差	Σ(x−x̄)² = 207.875	s = 5.449
22–32 分	加一个极端值	加入 60 后平均 23.9	中位数较稳
32–44 分	分组数据估算	三组 Σf = 20	估算平均 16.0、标准差 7.0
44–48 分	比较两组数据	同平均不同标准差	离散程度决定风险
48–50 分	离场检查	三题收回即批	独立完成

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：三个平均数，三种用途

数据：12, 15, 15, 18, 20, 22, 25, 28，共 8 个。平均数 = 155 ÷ 8 = 19.375；中位数是排好后第 4、5 个的平均 = (18+20)/2 = 19.0；众数是出现最多的 15，出现两次。
要学生比较：加入一个 60 之后，平均数升到 23.9（升 4.5），但中位数只由 19.0 升到 20。所以有极端值时，中位数较能代表“大部分人”。
讲清一句：平均数用尽每个数值，所以最敏感；中位数只看位置，所以最稳；众数只适用于有重复的数据。

要学生做：口头答“班上有一位同学零分，用边个平均数向家长讲最公道”，并讲理由。

第二幕：标准差：量“散不散”

先讲偏差：每个数减平均数，例如 12−19.375 = -7.375。偏差相加永远等于 0，所以不能直接用，要把每个偏差平方：Σ(x−x̄)² = 207.875。母体标准差 = √(207.875/8) = 5.097；样本标准差除以 7 得 5.449。
要学生明白两点：① 标准差与原数据同单位，所以可直接比较；② 标准差细＝数据贴近平均，大＝分散，但标准差永远不会负数（平方之后）。
比较练习：另一组数据平均一样但标准差 7.097，问哪一组较“稳定”，答案就是标准差细那组。

要学生做：用计数机统计模式输入同一组数据，核对 s = 5.449，并讲出计数机用 n 定 n−1。

第三幕：分组数据：组中点代替真值

频数表：0–10 分 4 人、10–20 分 10 人、20–30 分 6 人，Σf = 20。用组中点 5, 15, 25，Σfx = 320，估算平均 = 16.0；再算 Σf(x−x̄)² = 980，标准差 ≈ 7.0。
要讲清这是估算：分组后我们已不知道每人的真实分数，只知道落在哪一格，所以组中点是假设“均匀分布”的结果。连续数据的组界要用 0.5 修正（0–10 实际是 −0.5 至 9.5 这类），但 DSE 多以组中点法为主。
最后把三件事连起来：中心（平均）讲“一般水平”，离散（标准差）讲“差异有几大”，两者要一齐报才有意义。

要学生做：把 freq table 自行改一组数字重算，并讲出为何答案会与真实平均不同。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
求三个平均数	8 个数据	先排序再取中位	19.375／19.0／15
求标准差	同一组数据	先平方偏差再开方	5.449
比较两组	同平均不同标准差	比较标准差大小	5.097 vs 7.097
分组估算	Σf = 20	组中点 × 频数	16.0

合理性检查（一定要教）：标准差 5.097 一定要细过全距 16 的一半（8.0）才合理；平均数 19.375 必在最小值 12 与最大值 28 之间。分组估算的 16.0 也应落在 5 至 25 之间，若算出 40 就是用了组界而非组中点。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
数据 4, 6, 6, 8, 10，求平均数与标准差。	平均 6.8；s ≈ 2.28	是否先排序再平方偏差
同一组数据每个数加 3，标准差有何变化？	不变	加常数只移位置不改差距
每个数乘 2，标准差有何变化？	乘 2	乘常数会放大离散程度

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
用 n−1 与 n 混淆	题目要母体标准差却除 n−1	“题目写‘这批数据’就用 n，写‘样本’才用 n−1。”
未排序就取中位数	直接取第 4 个	“中位数系位置，不排序就没有位置。”
分组用组界计	0–10 用 0 或 10	“组中点系 (0+10)/2 = 5，不系边界。”
标准差负数	开方前忘了平方	“平方之后没有负数，出负数就一定系漏了平方。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

中学数学章节索引（二次方程、对数、三角、概率、积分、向量）　先做统计再做概率
中学备课指引总览　全科索引

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
8 个数据平均 19.375，加一个 60 后平均多少？	23.9	错＝重讲第一幕
全部数据乘 2，标准差如何变？	乘 2	错＝重讲第二幕
分组表 Σf = 20，估算平均多少？	16.0	错两题以上＝回到第三幕

09　导师常问

这一章适合哪个年级？

中四至中六，DSE 数学必修部分的“统计”与延伸单元 M1 都会用到标准差。

使不使背公式？

只需记三条：平均数、偏差平方和、标准差开方；其余由定义推。

有无配套练习？

家课栏连到数学章节索引，可配概率与排列组合顺序排。

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本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。