DSE 数学｜三角比与方位角备课指引（导师用）｜sin cos tan、余弦公式与三方位角

2026-11-03

学生识背 SOH CAH TOA，但一见“由 A 测得 B 的方位角”就停手。这一堂要把方位角还原成角度差，再决定用直角三角还是余弦公式。

本堂目标　学生能够：① 由已知两边或一边一角选出正确三角比；② 把“由 A 测得”“由 B 测得”写成两个方位角并求夹角；③ 在非直角三角形用余弦公式求第三边，并判断何时不能用 sin/cos/tan。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
毕氏定理	两直角边 3 与 4，斜边多少	5
角度单位	计算器应设哪个模式	Degree（DEG）
方位角定义	正北顺时针量度，范围多少	000° 至 360°

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–8 分	选比	SOH CAH TOA 对照已知与所求	三题口答选哪个比
8–20 分	斜坡实例	倾角 25°、斜边 120 m 求升高	算出 50.7 m
20–34 分	方位角	由 A 测得 vs 由 B 测得，画图取夹角	夹角 100°
34–46 分	余弦公式	夹角非 90° 时求第三边	算出 11.65 km
46–54 分	答题格式	画图、写式、代入、单位、三位有效数字	改写一段答案
54–60 分	离场检查	三题收回即批	独立完成

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：选比：先标对边邻边斜边

先把所求角标出来，再逐边贴标签：对边（对住该角）、邻边（贴住该角）、斜边（对住直角）。
已知两边求角 → 用 cos⁻¹、sin⁻¹、tan⁻¹；已知一边一角求另一边 → 用 sin、cos、tan 直接乘除。
斜坡倾角 25°、斜边 120 m，求垂直升高：sin 25° = 升高 ÷ 120，升高 = 120 × 0.423 = 50.7 m。

要学生讲：同一题求水平距离用哪个比（cos，答案 108.8 m）。

第二幕：方位角：两个“测得”等于一条边与一个夹角

方位角一律由正北顺时针量，写成三位数（060°、140°）。
“由 A 测得 B 的方位角 40°”＝ A 出发向 40° 走 6 km 到 B；“由 B 测得 C 的方位角 140°”＝在 B 向 140° 走 9 km 到 C。
两段方向的夹角＝ 140 − 40 = 100°（同一参考方向相减，不用加 180°）。

要学生做：写出由 C 回望 B 的方位角（220°，反向要加 180°）。

第三幕：余弦公式：夹角不是 90° 才出场

a² = b² + c² − 2bc cos A，代入 b = 6、c = 9、A = 100°：a² = 36 + 81 − 2 × 6 × 9 × cos 100° = 135.75，a = 11.65 km。
若夹角刚好 90°，cos 90° = 0，公式自动退回毕氏定理，所以不必另记一套。

提醒：见到“最短距离”＝三点连线直接量，不要逐段相加。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
求边	已知一角一斜边	写比 → 移项 → 计算器	50.7 m
求角	已知两边	贴标签 → 选比 → 反函数	约 36.9°
方位角	两段路程	画图 → 相减得夹角	100°
非直角	两边夹角求第三边	余弦公式 → 开方	11.65 km

合理性检查（一定要教）：直角三角形斜边一定是最长边，算出的对边不可能大于斜边；sin 与 cos 的答案一定小于 1。方位角夹角必在 0° 至 180° 之间，若相减得出 260° 就代表取错方向，要用 360° 减。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
倾角 25°、斜边 120 m 的垂直升高	50.7 m	是否用 sin 而不是 cos
两段方位角相距	11.65 km	夹角是否取对（100°）
由 C 回望 B 的方位角	220°	有否加 180° 再取 360° 余数

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
把邻边当对边	sin 与 cos 对调，答案偏大	“先问：这条边有无贴住只角？”
计算器设 RAD	sin 25° 得出 0.42	“计角度前先望一眼 DEG。”
方位角相加 180°	夹角算成 280°	“两个都由北量，直接相减就系夹角。”
非直角照用 tan	用 tan 求第三边	“无直角就无对边邻边，改用余弦公式。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

DSE 数学练习卷（三角与测量）　乙部第 14 题：方位角与余弦公式
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08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
倾角 25° 斜边 120 m 的升高	50.7 m	三题全对＝可进正弦公式
两段方位角的直线距离	11.65 km	错一题＝下堂前重讲夹角
何时不可用 tan	没有直角时	错两题以上＝回到第一幕

09　导师常问

sin、cos、tan 要背数值吗？

不必，计数机会给；但要记 sin 30° = 0.5、cos 60° = 0.5 这类常用值以便验算。

方位角可否用 0° 至 180° 表示？

香港课程用三位数 000°–360°，答 60° 亦可接受，但 060° 更清楚。

余弦公式何时比正弦公式好？

已知两边及夹角，或三边求角，用余弦；已知两角一边用正弦。

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本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。