中四数学｜三角学备课指引（导师用）｜sin cos tan、正弦公式与余弦公式

2026-11-01

学生背得到 SOH-CAH-TOA，但一见到斜边不在对面的图就乱配；这一堂要他们先标“直角同斜边”，再决定用哪条公式。

本堂目标　学生能够：① 在直角三角形用 sin／cos／tan 由两边求角、由一边一角求另一边；② 判断何时用正弦公式、何时用余弦公式，并讲出各自需要的已知条件；③ 用 ½ab sinC 计三角形面积，并讲出为何不是底乘高。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
勾股定理	3-4-5 三角形斜边	5
角度单位	计数机 DEG 模式	sin30° = 0.5
比例与开方	√67	8.185

02　课堂流程（50 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–8 分	比值定位	8-15-17 三角形	sinθ = 0.471
8–20 分	求边与求角	5-12-13	θ = 22.6°
20–32 分	正弦公式	A=40°、a=12、B=65°	b = 16.92
32–44 分	余弦公式	b=7、c=9、A=60°	a = 8.185
44–48 分	面积公式	½ab sinC	27.28
48–50 分	离场检查	三题收回即批	独立完成

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：先标斜边，再谈比值

在直角三角形的比值定义中，斜边永远在直角对面，最长那一条。8-15-17 三角形：sinθ = 对边/斜边 = 8/17 = 0.471，cosθ = 15/17 = 0.882，tanθ = 8/15 = 0.533，θ = 28.1°。
学生最常错的是“斜边选错”：一定要先圈起直角，斜边就在它对面。另外提醒计数机要转 DEG，否则 sin30 会出 0.5 以外的数字，答案差几十倍。

要学生做：在图上圈直角、写“斜边”，再口头讲三个比值分别是哪两条边相除。

第二幕：正弦公式：一对角与对边就够

已知 A = 40°、a = 12、B = 65°，求 b：b = a × sinB / sinA = 12 × sin65° / sin40° = 16.92。
正弦公式 a/sinA = b/sinB 的意思是“边与它的对角成比例”。用之前要确认手上有一对完整的“角＋对边”，否则就要改用余弦公式。
钝角情况要提：sin 值相同可以有两个角，题目若无图，要检查两解是否都合理。

要学生做：把公式写成“边/对角”两次，圈出已知那一对，再代数。

第三幕：余弦公式：三边或两边夹角

已知 b = 7、c = 9、夹角 A = 60°，求 a：a² = b² + c² − 2bc cosA = 49 + 81 − 2 × 7 × 9 × cos60°，a = 8.185。
面积就用同一组数据：½bc sinA = ½ × 7 × 9 × sin60° = 27.28。余弦公式其实是勾股定理的推广：A = 90° 时 cosA = 0，立即变回 a² = b² + c²。
要学生记住“有夹角用余弦，面积用 sin”，两条公式共用同一组两边一夹角。

要学生做：同一题先求 a 再求面积，并讲出为何面积公式用 sin 而不是 cos。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
求角	5-12-13 求最小角	选正确比值再取反函数	22.6°
求边（正弦）	A=40°、a=12、B=65°	b = a sinB / sinA	16.92
求边（余弦）	b=7、c=9、A=60°	a² = b² + c² − 2bc cosA	8.185
面积	b=7、c=9、A=60°	½bc sinA	27.28

合理性检查（一定要教）：求得 a = 8.185，要大过 |c − b| = 2 且细过 c + b = 16，通过。角度方面 θ = 28.1° 与 θ = 22.6° 都应细过 45°，因为对边短过邻边；若计数机出 60° 以上，就是比值放反了。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
3-4-5 三角形，求最小角。	36.9°	是否先找最短边对应最小角
A=50°、a=10、B=70°，求 b。	b = 12.27	有没有确认有一对角与对边
b=5、c=8、A=120°，求 a。	a = 11.36	cos120° 是否取负值

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
斜边认错	把最长边当成邻边	“斜边一定在直角对面，你先圈直角再讲边。”
计数机未转 DEG	sin30 出 −0.988	“MODE 转 DEG，考试第一件事就系做呢个。”
正弦公式放反	写成 sinA/a 之后又乘 a	“边在上面、对角在下面，写一次就不好再翻。”
钝角忽略第二解	只写一个角就收工	“sin 一样可以有两个角，题目无图就要两解都检查。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

中学数学章节索引（二次方程、对数、三角、概率）　先完成三角学一章再做对数
中学备课指引总览　全科索引

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
5-12-13 三角形求最小角。	22.6°	错＝重讲第一幕标边
A=45°、a=8、B=60°，求 b。	9.80	错＝重练正弦公式配对
b=6、c=10、A=90°，求 a。	11.66	错两题以上＝回到第三幕四步

09　导师常问

这一章适合哪个年级？

中四至中六，DSE 必修部分的三角学与面积题都用得上。

要背几多条公式？

三条：比值定义、正弦公式、余弦公式，面积公式由正弦公式推出来，可以一齐记。

有无配套练习？

家课栏连到数学章节索引，可配圆形性质与向量章节顺序排。

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本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。