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中五数学：圆的几何 第三份（半圆、等弦、切线长与逆定理）
中五数学：圆的几何 第三份（半圆、等弦、切线长与逆定理）
第三份由半圆上的圆周角出发，加入等弦对等角与切线长相等的应用，再考“90° 圆周角反推直径”这类逆定理。凡见到圆心角与弧的比例题，先用“弧占全圆几分之几”换成角度，避免直接乘除出错。所有角度由电脑核算。
快速答案 半圆内角 52°；等弦对等圆周角；切线长相等；90° 圆周角反推直径；圆心角 84° 占全圆 7/30；切线与弦夹 64° 得圆心角 128°；3x 与 2x 得 108° 与 72°；内交角 110°；外割角 60°；圆内接四边形不一定为矩形。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 题 |
| 建议时间 | 25 分钟 |
| 难度分布 | 基础 4 · 进阶 3 · 挑战 2 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：圆的几何 |
| 适用年级 | 中五 |
02 题目（10 题）
- 基础AB 是直径，C 在圆上，∠ABC = 38°，求 ∠BAC。
- 基础在同圆中，两条弦相等，它们所对的圆周角有什么关是？
- 基础从圆外一点 P 引两条切线 PA、PB，PA = 7 cm，PB 是多少？
- 基础C 在圆上，∠ACB = 90°，AB 是什么？
- 进阶一段弧对的圆心角是 84°，这段弧占全圆的几分之几？
- 进阶切线与弦的夹角是 64°，求该弦所对的圆心角。
- 进阶圆内接四边形两对角和为 180°，其中一角是 3x、对角是 2x，求这两个角。
- 挑战两弦在圆内相交，所截两弧为 150° 与 70°，求交角。
- 挑战从圆外一点引两条割线，大弧 160°、小弧 40°，求夹角。
- 错题重练有同学说“圆内接四边形一定是矩形”，错在哪里？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | 52°。 | 半圆上的圆周角是 90°，90 减 38 得 52。 |
| 2 | 相等。 | 等弦对等弧，等弧对等圆周角，三步连起来就是等弦对等圆周角。 |
| 3 | 7 cm。 | 同一点引出的两条切线等长，所以 PB 也是 7 cm。 |
| 4 | AB 是直径。 | 圆周角 90° 所对的弦必为直径，这是半圆定理的逆定理。 |
| 5 | 7/30。 | 84 除以 360 得 84/360，约简后是 7/30。 |
| 6 | 128°。 | 切线与弦的夹角等于另一弓形的圆周角 64°，圆心角是其两倍 128°。 |
| 7 | 108° 与 72°。 | 3x 加 2x 等于 180 得 x = 36，所以是 108° 与 72°。 |
| 8 | 110°。 | 内交角等于两弧和的一半，(150 加 70) 除以 2 得 110。 |
| 9 | 60°。 | 圆外夹角是两弧差的一半，(160 减 40) 除以 2 得 60。 |
| 10 | 错在多加条件；圆内接只要求对角和 180°，梯形甚至筝形也可以共圆。 | 矩形只是圆内接四边形的一个特例，四角都是 90° 并非必要条件。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。
