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中五数学：圆的几何 第四份（四点共圆、弧比例与综合交角）
中五数学：圆的几何 第四份（四点共圆、弧比例与综合交角）
第四份把前面三份的定理反过来用：由相等的圆周角证明四点共圆，由 90° 反推直径，由切线长配合毕氏定理求长度。弧的比例题一律先化成圆心角，再取一半得圆周角。最后两题用内交角与外割角公式反求未知弧。所有数值由电脑核算。
快速答案 等圆周角反推四点共圆；直径 10 半径 5；OP 13、r 5 得切线 12；圆周角 30° 得圆心角 60° 占 1/6；两弧 3:7 得 108°、252° 及 54°、126°；切线夹 70° 得底角 55°；外角 118° 得邻角 62°；内交角 80° 反求另一弧 40°；两切线夹 60° 得大弧 240°、小弧 120°；圆周角不可能 180°。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 题 |
| 建议时间 | 25 分钟 |
| 难度分布 | 基础 4 · 进阶 3 · 挑战 2 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：圆的几何 |
| 适用年级 | 中五 |
02 题目（10 题）
- 基础四点 A、B、C、D 中，∠ACB 与 ∠ADB 在同侧且相等，可以得出什么结论？
- 基础圆的直径是 10 cm，半径是多少？圆周角最大可以是多少？
- 基础P 在圆外，PT 是切线，T 为切点，OP = 13 cm、半径 5 cm，求 PT。
- 基础一段弧对的圆周角是 30°，求圆心角及这段弧占全圆的比例。
- 进阶两段弧的比例是 3:7，合起来是全圆，求两段弧的圆心角与所对的圆周角。
- 进阶PA 与 PB 是两条切线，∠APB = 70°，求 ∠PAB 及 ∠AOB。
- 进阶圆内接四边形的一个外角是 118°，求它的内对角与相邻内角。
- 挑战两弦在圆内相交成 80°，其中一段弧是 120°，求另一段弧。
- 挑战从圆外一点引两条切线，夹角 60°，求两切点之间的大弧与小弧。
- 错题重练有同学说“圆周角最大可以到 180°，只要弧够大”。错在哪里？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | A、B、C、D 四点共圆。 | 同侧相等圆周角代表它们站在同一段弧上，所以四点在同一个圆。 |
| 2 | 半径 5 cm，最大 90°（不计极限）。 | 半径是直径一半；圆周角所对的弧最多接近半圆，所以上限是 90°。 |
| 3 | 12 cm。 | 切线垂直半径造出直角三角形，13² 减 5² 得 144，开方得 12。 |
| 4 | 圆心角 60°，占 1/6。 | 圆心角是 60°，60 除以 360 得 1/6。 |
| 5 | 圆心角 108° 与 252°，圆周角 54° 与 126°。 | 360 乘 3/10 得 108、乘 7/10 得 252，各取一半得 54 与 126。 |
| 6 | ∠PAB = 55°，∠AOB = 110°。 | 等腰三角形底角 (180 减 70)/2 得 55；圆心四边形中两个直角，所以 ∠AOB 是 180 减 70 得 110。 |
| 7 | 内对角 118°，相邻内角 62°。 | 外角等于内对角，而同一直线上的相邻角补足 180，180 减 118 得 62。 |
| 8 | 40°。 | 内交角是两弧和的一半，所以两弧和为 160，160 减 120 得 40。 |
| 9 | 大弧 240°、小弧 120°。 | 夹角是两弧差的一半，所以差为 120；两弧和为 360，解得 240 与 120。 |
| 10 | 错在弧不可能等于整个圆；圆周角必定小于 180°。 | 圆周角是所对圆心角的一半，圆心角小于 360°，一半自然小于 180°。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。
