中五数学｜圆形性质备课指引（导师用）｜圆心角定理、同弓形、切线与圆内接四边形

2026-11-01

学生见到圆就乱加辅助线，写理由时只写“圆形性质”。这一堂要求每一条理由都写出定理全名，并用半径、弦心距、切线三个直角三角形打通。

本堂目标　学生能够：① 用圆心角等于圆周角两倍、同弓形圆周角相等解角；② 用“切线垂直半径”与外点切线等长求长度与角；③ 用圆内接四边形对角互补及外角等于内对角完成证明。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
毕氏定理	半径 13、弦心距 5，半弦长	12
等腰三角形	两半径与弦组成的三角形性质	底角相等
三角形内角和	三角形三角相加	180°

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–10 分	圆心角与圆周角	圆周角 35°	圆心角 70°
10–22 分	同弓形与半圆	同弓形圆周角相等；半圆圆周角 90°	90°
22–34 分	弦与弦心距	r = 13、d = 5	弦长 24
34–46 分	切线性质	外点距圆心 13、半径 5	切线长 12
46–56 分	圆内接四边形	∠A = 110°、∠B = 85°	∠C = 70°、∠D = 95°
56–60 分	离场检查	三题收回即批	独立完成

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：圆心角是圆周角的两倍

同一条弦所对的圆心角 = 2 × 圆周角。圆周角 35° 对应圆心角 70°。
推论三条要一齐记：同弓形的圆周角相等；半圆上的圆周角是 90°；圆内接四边形的对角互补。
写理由的格式：“∠ at centre twice ∠ at circumference”，或“∠s in the same segment”。只写“圆形性质”在 DSE 是没有分。
若题目给圆心角 70°，要反过来答圆周角 35°，方向要看清楚。

要学生做：画一个圆，标出同一条弦的两个圆周角，并写出相等理由。

第二幕：弦、弦心距与切线：三个直角三角形

由圆心向弦作垂线（弦心距），必平分该弦。r = 13、d = 5 时，半弦 = √(169 − 25) = 12，全弦 24。
切线垂直过切点的半径，所以外点 P、切点 T、圆心 O 组成直角三角形：OP = 13、OT = 5，切线长 PT = √(169 − 25) = 12。两条由同一外点引出的切线等长，且 OP 平分两切线的夹角。
弦切角定理（alternate segment）：切线与弦的夹角 62° 等于另一弓形的圆周角 62°。

提醒：见到切线就先连半径，这一步没有写出来，后面所有计角都无依据。

第三幕：圆内接四边形与外接圆半径

圆内接四边形对角互补：∠A = 110° 则 ∠C = 70°；∠B = 85° 则 ∠D = 95°。外角等于内对角，所以 ∠A 的外角也是 70°。
三角形外接圆半径用 R = abc ÷ 4Δ：三边 13、14、15，s = 21，Δ = √(21×8×7×6) = 84，R = 2730 ÷ 336 = 8.125。
证明题三步：先标已知、再拣定理、最后写结论连理由，缺理由就当未完成。

要学生讲：为何“对角互补”与“外角等于内对角”其实是同一件事。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
求角	圆心角与圆周角	圆心角 = 2 × 圆周角	70°
求长度	弦与弦心距	半弦 = √(r² − d²)	24
求长度	外点切线	PT = √(OP² − r²)	12
证明	圆内接四边形	对角互补、外角等于内对角	70° 与 95°

合理性检查（一定要教）：圆周角必定小于对应的圆心角，35° 对 70° 合规；若算出圆周角大过圆心角，就是乘错了两倍。半弦 12 一定短过半径 13，否则 r² − d² 变负数，代表弦心距过大。圆内接四边形四角相加要 360°：110 + 85 + 70 + 95 = 360°。外接圆半径 8.125 应大于最长边的一半 7.5，否则计算有误。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
半径 13、弦心距 5 的弦长	24	2√(169 − 25)
圆周角 35° 对应的圆心角	70°	乘 2
外点距圆心 13、半径 5 的切线长	12	√(169 − 25)
圆内接四边形 ∠A = 110° 时的 ∠C	70°	180° − 110°
三边 13、14、15 的三角形外接圆半径	8.125	abc ÷ 4Δ，Δ = 84

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
理由只写“圆形性质”	证明题只得结论	“每个结论都要跟一个定理名，不系写圆形性质就得。”
忘记切线垂直半径	直接假设 OT ⊥ PT 而不写	“切线垂直半径要先讲，之后才可以用毕氏定理。”
圆心角与圆周角乘错方向	把 70° 乘 2 变 140°	“圆心角大，圆周角细，方向不可以反。”
对角互补写成相等	把 ∠C 写成 110°	“圆内接四边形系对角相加 180°，不系相等。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

中学数学章节索引　全科章节
DSE 数学练习卷　圆形性质题组第 17–21 题

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
半径 13、弦心距 5 的弦长	24	全对＝可进概率与统计
切线与半径的关系	切线垂直过切点的半径	错＝下堂前重做切线三步
圆内接四边形对角和	180°	错两题以上＝回到第一幕

09　导师常问

为何半圆上的圆周角一定是 90°？

因为它对应的圆心角是平角 180°，圆周角是圆心角的一半。

弦心距为何平分弦？

圆心到弦的垂线与两半径组成两个全等直角三角形（RHS），所以两段相等。

什么时候用弦切角定理？

题目出现切线与弦的夹角，而该角要搬到另一弓形的圆周角时。

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本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。