DSE 数学｜圆形性质备课指引（导师用）｜圆心角、圆周角、切线、圆内接四边形

2026-11-02

学生画图不标圆心，就等于把整章定理当成背诵。这一堂要他们每一题都先标圆心、半径，再写理由。

本堂目标　学生能够：① 由圆心角与圆周角互求，并写出“同弧上的圆周角是圆心角的一半”；② 见到切线立即接半径成直角，用毕氏定理求长度；③ 见到圆内接四边形即写对角互补，并用外角等于内对角求未知角。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
等腰三角形	半径 OA＝OB，∠OAB 是多少	两底角相等，用 180° 补顶角
三角形内角和	已知两角，求第三角	180° 减两角和，10 秒内答出
毕氏定理	两直角边 5 与 12，斜边多少	13，要即答

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–5 分	诊断	派三题快检，看学生有无在图上标圆心	在图上标 O 与全部半径
5–17 分	示范圆心角与圆周角	同一条弧写出 130° 与 65°，每步写理由	照抄理由句并圈出弧
17–33 分	四类题型示范	每类一题，全部先标半径再落笔	做四题，每题一句理由
33–50 分	独立练习	只计时，不提示	三题 15 分钟内完成
50–60 分	错误纠正与离场检查	读出四个常见错误，抽问离场三题	口头回答三题并自评

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：圆心角与圆周角：同一条弧，二比一

先画一个圆，标圆心 O，取 A、B 两点。问学生：“圆心角 ∠AOB 和圆周角 ∠ACB，边个大？”九成会答错或乱猜。然后写：圆心角 130°，同一条弧 AB 上的圆周角就是 130 ÷ 2 ＝ 65°。
再画第二个点 D 在同一条弧上，问 ∠ADB。答案是同一个 65°，因为同一条弧上的圆周角全部相等。这里要学生写一句理由：“同弧上的圆周角相等”。

强调：圆心角一定大于圆周角，答案大过 130° 就即刻知道错。

第二幕：切线垂直半径：所有长度题的入口

画圆、画切线、由切点拉半径，中间标一个直角。讲：“切线同半径的交角一定系 90°，没有例外，所以任何切线题第一步都系补呢条半径。”
例：半径 5，切线段 12，求圆心到切线外点的距离。写成直角三角形，斜边＝ √(5² ＋ 12²) ＝ 13。

提醒：见到“tangent”就要有直角符号，没有直角符号的解答一定失分。

第三幕：圆内接四边形：对角相加 180°

画四点全在圆上的四边形，标 ∠A ＝ 115°，问 ∠C。写：对角互补，所以 ∠C ＝ 180° － 115° ＝ 65°。
再加一个外角练习：延长一边，外角就等于它的内对角，学生要讲得出是哪一个角。

强调：只有四个顶点都在圆上才可以叫圆内接四边形，图上要见到四个点都贴住圆周。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
圆心角求圆周角	圆心角 130°，求同一条弧的圆周角	① 找出同一条弧 ② 圆心角 ÷ 2 ③ 写理由句	65°
圆周角求圆心角	圆周角 40°，求圆心角	① 找同一条弧 ② 乘 2 ③ 写理由句	80°
切线求长度	半径 5、切线段 12，求圆心到外点距离	① 切点补半径 ② 标直角 ③ 毕氏定理	13
圆内接四边形求角	∠A ＝ 115°，求对角 ∠C	① 确认四点在圆上 ② 对角互补 ③ 180° 相减	65°

合理性检查（一定要教）：圆心角 130° 对应的圆周角必然是 65°，计到 260° 就一定调转了公式。
切线题答案一定要大过半径 5（斜边最长），细过 12 就代表直角放错位。
圆内接四边形任何一只角都必在 0° 与 180° 之间，答案 180° 系对角和，不系单一只角。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
圆心角 96°，求同一条弧上的圆周角	48°	有无除以 2，有无写理由
半径 9、切线段 12，求圆心到外点距离	15	有无先补半径标直角
圆内接四边形 ∠B ＝ 78°，求 ∠D	102°	有无用 180° 而不系 90° 或 360°

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
圆心角圆周角调转	“圆周角大些，因为个角阔些”	“画返圆心先：圆心角由圆心射出，一定大过圆周角，你𠮶个 130° 系圆心角。”
切线题漏标直角	直接将半径与切线段相加当斜边	“切线同半径成 90°，所以系直角三角形，要用平方和，不系直接加。”
圆内接四边形用错角	“对角即系隔一格，我用 360° 减”	“对角系 A 对 C、B 对 D，相加 180°，不关 360° 事。”
理由句只写数字	“x ＝ 65°”	“要写‘同弧上的圆周角是圆心角的一半’，DSE 有方法分。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

中学数学（DSE）备课指引索引　重温本章十节结构与其他章节
校内 S5 圆形性质练习卷　Paper 1 Q1–Q6（圆心角／圆周角）
校内 S5 圆形性质练习卷　Paper 1 Q7–Q10（切线长度与圆内接四边形）

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
圆心角 130°，圆周角几多	65°	答错＝重做第一幕例题
切线与半径的交角	90°	答错＝重写切线三步
圆内接四边形对角和	180°	答错＝回到第三幕

09　导师常问

要不要背所有圆形定理？

要背四条就够：圆心角两倍、同弧圆周角相等、半圆上的圆周角 90°、圆内接四边形对角互补；其余由这四条推。

学生不识画辅助线点算？

固定三步：连半径、连圆心到切点、连对角线。每题先做这三步，再看哪个三角形可用。

证明题要写几多步？

每一只角都要有理由句，一个理由一行；只写答案就算数字对都会扣方法分。

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本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。