DSE 数学｜排列与组合备课指引（导师用）

DSE 数学｜排列与组合备课指引（导师用）｜nPr、nCr、分组与限制

2026-11-01

学生一见“有多少种方法”就乱套公式，最常见是无序当有序，答案大几倍。问题不在算术，在于没有先问一句：调换次序算不算另一种？这一堂把“有序／无序”变成开题第一个动作，之后三类题同一个起手。

本堂目标　学生能够：① 用一句话判断题目有序还是无序；② 正确选 nPr 或 nCr 并写出算式；③ 处理“某甲必须在内”“相邻”“不可相邻”三种限制；④ 用除法修正重复计数。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
阶乘	n! 的意义与化简	5! = 120，n!/(n−2)! = n(n−1)
乘法原理	分步就相乘	3 件衫 × 4 条裤 = 12 个配搭
加法原理	分类就相加	两种互斥情况分开计再相加

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–10 分	有序定无序	一问定生死	调换次序＝另一种？
10–25 分	两条公式	nPr 与 nCr 的关系	P(10,3)=720、C(10,3)=120
25–38 分	限制条件	先安置受限制的人	10 人选 3 人，甲必须在内
38–50 分	重复计数	相同物品要除	字母重复要除以重复数的阶乘
50–56 分	混合题	分步相乘再分类相加	先分类，不可漏情况
56–60 分	离场检查	三题收回即批	独立完成

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：第一个动作：问“调换次序算不算”

由 10 人中选 3 人做代表，与选 3 人排队拍照，是两条完全不同的题。排队要计次序，答案 P(10,3) = 720；选代表不计次序，答案 C(10,3) = 120。差别就是 3! = 6 倍：720 ÷ 6 = 120。
所以每次开题先写一句：“次序重要吗？”写完才准按计算机。要学生讲：选班长、副班长、书记，是三种职位还是三个人？（职位不同＝有序。）

要学生做：把“5 人选 2 人”与“5 人排 2 个位”两题分别写出算式再对比。

第二幕：公式只用两条，关系要讲清

nPr = n! ÷ (n−r)!，nCr = n! ÷ [r!(n−r)!]，所以 nCr = nPr ÷ r!。例：C(13,5) = 1287，P(7,2) = 42。
不要叫学生背三条公式，只背一条：先当有序计，再决定除不除 r!。这样连“分组后再排列”的混合题都不会乱：先分组（除以组数阶乘），再乘组内排列。提醒：nCr 的对称性 C(n,r) = C(n,n−r) 可以用来检查，例如 C(13,5) 应等于 C(13,8) = 1287。

要学生计：C(10,3) 与 P(10,3) 相差几倍？（6 倍，即 3!。）

第三幕：限制条件：先安置最麻烦的一个

“10 人选 3 人，甲必须在内”：先放甲，再由余下 9 人选 2 人，答案 C(9,2) = 36，而不是 C(10,3) − 1。
“甲不可在内”就由余下 9 人选 3 人。“三人相邻”用捆绑法：把三人当一件，与其余物件一起排，再乘 3!。“三人不可相邻”用插空法：先排其他人，再把三人插入空隙。要学生讲：捆绑法最后为什么要乘 3!？（因为绑住的三人在内部仍可互换。）

要学生做：把“甲必须在内”与“甲不可在内”两题并排写，检查答案相加是否等于 C(10,3)。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
纯组合	10 人选 3 人	不计次序 → nCr	120 种
纯排列	10 人选 3 人排队	计次序 → nPr	720 种
含限制	甲必须在内	先安置甲再选其余	36 种
重复物品	PASSION 字母排列	除以重复字母阶乘	7! ÷ (2!×2!)

合理性检查（一定要教）：组合答案必定是整数，而且必定小于或等于同参数的排列数：120 ≤ 720。有怀疑就用对称性验算 C(n,r) = C(n,n−r)。分类讨论的题目，各情况答案相加要等于无限制的总数；加起来不对就是漏了情况。“至少一个”用反面扣除最稳：总数 15600 减去完全不含元音的 7980。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
C(10,3) 的值	120	nCr = nPr ÷ 3!
P(7,2) 的值	42	7 × 6
10 人选 3 人，甲必须在内	36 种	先安置甲

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
无序当有序	选代表答 720	“选人不关次序事，除返 3! 先啱。”
忘记除重复	BANANA 排法答 6!	“三个 A 一样，不除 3! 会重复计。”
限制条件用减一	甲必须在内答 119	“不系减一个答案，系先安置甲再拣人。”
分类漏情况	只计相邻，漏了不相邻	“分两类要两类都写，加埋先系总数。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

中学数学章节索引　第 3、5 题同类型
备课指引总目录　同科其他章节
小学数学测验卷　乘法原理热身

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
C(8,2) 的值	28	三题全对＝可进概率
5 人排 5 个位	120	错一题＝下堂重讲阶乘
“至少一个”的处理方向	用总数减去没有	错两题以上＝回到第一幕

09　导师常问

nCr 与 nPr 几时用边条？

先问次序是否重要：重要用 nPr，不重要用 nCr；也可以用 nPr ÷ r! 一次过计。

为什么“甲必须在内”不是 C(10,3) − 1？

因为要扣的是“甲不在内”的全部情况 C(9,3)，不是一个答案。

分组之后为什么要除组数阶乘？

因为三组互换位置不产生新分法，除以 3! 才不会重复计同一种分组。

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本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。