DSE 数学｜变分（正变、反变、联变）备课指引（导师用）

DSE 数学｜变分（正变、反变、联变）备课指引（导师用）｜建模、求常数、求值

2026-11-02

变分只有一个动作：先写 k，再代数求 k，最后用 k 求答案。学生错的地方永远是漏写 k 或者把正变反变掉转。

本堂目标　学生能够：① 由文字句写出 y ＝ kx、y ＝ k／x 或 y ＝ kx² 这类关系；② 用一组已知值求出 k；③ 用 k 求新值，并用“一个升另一个应该升定跌”自我检查。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
代入求未知数	y ＝ kx，x ＝ 3、y ＝ 12，k 几多	k ＝ 4
分数运算	k／12 ＝ 4，k 几多	48
平方	7 的平方	49

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–5 分	诊断	三题快检，确认代入与平方无问题	即场作答
5–18 分	示范正变	由“y 随 x 平方正变”写式、求 k、求值	跟做并写出三步
18–32 分	示范反变	同一组数字改成反变，比较结果方向	口头讲出升跌方向
32–48 分	联变与部分变	示范 z 同时受 x、y 影响的写法	自行写出关系式
48–60 分	错误纠正与离场检查	讲四个常见错误，抽问离场三题	口头回答并自评

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：正变：写 k 先，不好直接比例

句子“y 随 x 的平方正变”＝ y ＝ kx²。给一组数：x ＝ 4 时 y ＝ 48，先求 k：48 ＝ k×4²，所以 k ＝ 3。
再问 x ＝ 7 时 y 几多：y ＝ 3×7² ＝ 147。

强调：一定要先写 k，直接写 y ∝ x² 之后就代数，是最常见的失分位。

第二幕：反变：一个升，另一个跌

句子“y 随 x 反变”＝ y ＝ k／x。给 x ＝ 8、y ＝ 6，k ＝ 8×6 ＝ 48。
再问 x ＝ 12 时：y ＝ 48÷12 ＝ 4。要学生讲一句：“x 由 8 升到 12，y 由 6 跌到 4，方向对。”

提醒：答案方向错就一定系把 k／x 写成 kx，即刻回头改。

第三幕：联变与部分变：分清楚谁在分子

“z 随 x 正变、随 y 反变”写成 z ＝ kx／y；“z 是 x 与 y 的联变”写成 z ＝ kxy。两句只差一个位置，要学生圈出“反变”那个字。
做一题：z ＝ kx／y，x ＝ 2、y ＝ 3 时 z ＝ 8，则 k ＝ 12；问 x ＝ 4、y ＝ 6 时 z 几多，答案仍是 8，正好用来讲“两个同时加倍，结果不变”。

强调：部分变（一部分正变、一部分不变）要写成两项相加，例如 y ＝ kx ＋ c，不能只写一项。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
正变求值	y ∝ x²，x ＝ 4 时 y ＝ 48，求 x ＝ 7 时的 y	① 写 y ＝ kx² ② 求 k ③ 代新值	147
反变求值	y ∝ 1／x，x ＝ 8 时 y ＝ 6，求 x ＝ 12 时的 y	① 写 y ＝ k／x ② k ＝ xy ③ 代新值	4
求常数 k	已知一组对应值，求 k	① 写关系式 ② 代入 ③ 解出 k	k ＝ 48（反变例）
联变	z ∝ x／y，求比值或新值	① 写 z ＝ kx／y ② 求 k ③ 代新值	见第三幕例题

合理性检查（一定要教）：正变的答案方向要一致：x 由 4 升到 7，y 由 48 升到 147，跌就是错。
反变的 k 用 x 乘 y 求：8×6 ＝ 48，用除就会得到不合理的细数。
计完 k 要代回原本那组数验一次：把 x ＝ 4、k ＝ 3 代回 y ＝ kx² 得 48，对得上才继续。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
y ∝ x，x ＝ 6 时 y ＝ 21，求 x ＝ 10 时的 y	35	有无先求 k ＝ 3.5
y ∝ 1／x，x ＝ 4 时 y ＝ 9，求 x ＝ 6 时的 y	6	方向是否向下
z ∝ x²／y，x ＝ 2、y ＝ 4 时 z ＝ 3，求 x ＝ 4、y ＝ 6 时的 z	8	k 是否为 3，平方有无漏

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
漏写 k	“y ＝ x²”直接代数	“要写 y ＝ kx²，没有 k 就等于假设 k ＝ 1，除非题目讲明。”
正变反变掉转	“反变即系 y ＝ kx”	“反变是一个升另一个跌，写成 y ＝ k／x；你想像 x 越大 y 越细就不会掉转。”
k 用错运算	反变题用 k ＝ y ÷ x	“反变是 xy 固定，所以 k ＝ x 乘 y ＝ 48。”
联变漏项	“z 随 x 正变、随 y 反变”写成 z ＝ kxy	“y 是反变，所以要放分母：z ＝ kx／y，两个字要圈实。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

中学数学（DSE）备课指引索引　对照本章十节结构
校内 S5 变分练习卷　Paper 1 Q1–Q6（正变与反变）
校内 S5 变分练习卷　Paper 1 Q7–Q10（联变与部分变）

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
正变第一步写什么	y ＝ kx（或 kx²）	错＝重写关系式
反变的 k 怎样求	x 乘 y	错＝重做第二幕
“随 y 反变”放分子定分母	分母	错＝重读第三幕

09　导师常问

要不要背所有变分写法？

不用背，记两句：正变放分子、反变放分母，多个变数就逐个放。

学生不识分辨部分变？

看句子有没有“一部分不变”或出现加号，例如“y 是 x 的正变与常数之和”，就要写 y ＝ kx ＋ c。

答案要不要写单位？

要，应用题的 y 有单位就跟单位写，DSE 漏单位会扣分。

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本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。