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中五数学 向量：分量运算与长度（第一份：基础）
中五数学 向量：分量运算与长度（第一份：基础）
由分量加减、纯量乘法与长度入手，建立向量的基本运算习惯，十题附答案。
直接答案 本分集中分量运算与长度，全部答案由分量直接算出。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 20 |
| 难度分布 | 基础 3 · 进阶 3 · 挑战 3 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中五数学 向量 |
| 适用年级 | 基础 |
02 题目（10 题）
- 基础已知向量 a = (3, 4)，求 |a|。
- 基础已知 a = (2, 1)、b = (5, 7)，求 a + b。
- 基础已知 a = (6, −4)，求 2a。
- 进阶已知 a = (1, 2)、b = (4, −1)，求 a − b。
- 进阶求与 (3, 4) 同方向的单位向量。
- 进阶已知 A(1, 2)、B(4, 6)，求向量 AB 及其长度。
- 挑战已知 a = (2, −3)、b = (−1, 5)，求 3a − 2b。
- 挑战已知 a = (4, 3)、b = (3, −4)，求 a · b，并判断两向量关联。
- 挑战已知 a = (1, 2)、b = (4, 8)，问 b 是否为 a 的倍数？倍数是多少？
- 错题重练有学生说 |a + b| 一定等于 |a| + |b|。这个说法错在哪里？请举反例。
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | 5 | 长度是分量平方和开方，9 加 16 得 25，开方为 5。 |
| 2 | (7, 8) | 向量加法逐个分量相加，2 加 5 得 7、1 加 7 得 8。 |
| 3 | (12, −8) | 纯量乘法把每个分量乘大两倍。 |
| 4 | (−3, 3) | 减法即加负向量，1 减 4 得负 3、2 减负 1 得 3。 |
| 5 | (3/5, 4/5) | 先求长度 5，再把两个分量各除以 5。 |
| 6 | (3, 4)，长度 5 | AB 等于 B 减 A，再用分量求长度 3 与 4 得 5。 |
| 7 | (8, −19) | 3a 得 (6, −9)、2b 得 (−2, 10)，相减得 (8, −19)。 |
| 8 | a · b = 0，两向量垂直 | 内积为 12 减 12 得 0，内积为零代表两向量互相垂直。 |
| 9 | 是，b = 4a | 两个分量都放大四倍，所以两向量平行。 |
| 10 | 不一定相等，例如 a = (3, 0)、b = (0, 4) 时 |a + b| = 5 但 |a| + |b| = 7 | 只有同方向时才相等，不同方向时三角不等式成立。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。