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中五数学 向量：内积、平行与垂直（第二份：进阶）
中五数学 向量：内积、平行与垂直（第二份：进阶）
把内积用在平行、垂直与分点问题上，训练由条件反推未知数，十题附答案。
直接答案 本分重点是内积与位置关联，所有数值由分量直接计算。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 20 |
| 难度分布 | 基础 3 · 进阶 3 · 挑战 3 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中五数学 向量 |
| 适用年级 | 进阶 |
02 题目（10 题）
- 基础已知 a = (2, 5)、b = (3, −1)，求 a · b。
- 基础已知 c = (3, 4)，求 c 的单位向量。
- 基础已知 u = (2, −1) 与 v = (k, 4) 平行，求 k。
- 进阶已知 a = (1, 2) 与 b = (k, 3) 垂直，求 k。
- 进阶已知 d = (5, 12)，求 |d|。
- 进阶已知 A(2, 1)、B(6, 7)，求线段 AB 的中点。
- 挑战已知 A(0, 0)、B(8, 12)，点 P 在 AB 上且 AP : PB = 1 : 3，求 P 的坐标。
- 挑战求 a = (1, 0) 与 b = (1, √3) 之间的夹角。
- 挑战已知 a = (1, 2)、b = (3, 0)，求 |2a − b|。
- 错题重练有学生说 a · b = 0 就一定代表 a 或 b 是零向量。错在哪里？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 内积是对应分量相乘再相加，6 减 5 得 1。 |
| 2 | (0.6, 0.8) | 先取长度 5，再逐个分量除以 5。 |
| 3 | k = −8 | 平行即分量成比例，2 乘 4 等于负 1 乘 k，得 k 为负 8。 |
| 4 | k = −6 | 垂直即内积为零，k 加 6 等于零，所以 k 为负 6。 |
| 5 | 13 | 25 加 144 得 169，开方为 13。 |
| 6 | (4, 4) | 中点是两点坐标的平均，2 与 6 得 4、1 与 7 得 4。 |
| 7 | (2, 3) | P 走了整条 AB 的四分之一，8 除 4 得 2、12 除 4 得 3。 |
| 8 | 60° | 内积为 1、|a| 为 1、|b| 为 2，cos 等于 0.5 即 60 度。 |
| 9 | 约 4.12（√17） | 2a 得 (2, 4)，减 b 得 (−1, 4)，长度为 17 的开方约 4.12。 |
| 10 | 不一定，也可以是两向量垂直 | 零向量内积为零，但垂直的非零向量内积同样为零。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。