中文（繁體）
中文（简体）
English
中五数学 向量：综合应用（第三份：挑战）
中五数学 向量：综合应用（第三份：挑战）
以分点、夹角与平方展开处理综合题，数值全部由分量与三角函数算出。
直接答案 本分把向量与几何结合，答案同时列出精确值与近似值。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 20 |
| 难度分布 | 基础 3 · 进阶 3 · 挑战 3 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中五数学 向量 |
| 适用年级 | 挑战 |
02 题目（10 题）
- 基础已知 A(1, 2)、B(5, 10)，P 在 AB 上且 AP : PB = 3 : 1，求 P 的坐标。
- 基础三角形 ABC 中 A(0, 0)、B(6, 0)、C(0, 8)，求 AB · AC 及三角形面积。
- 基础已知 a = (2, 1)、b = (1, −2)，求 a · b 及 |a + b|。
- 进阶已知 a = (1, 2)、b = (3, 1)，求 t 使 a + t b 与 a 垂直。
- 进阶已知 |a| = 3、|b| = 4，夹角 60°，求 a · b 及 |a + b|。
- 进阶已知 |a| = 2、|b| = 5、a · b = −8，求两向量夹角。
- 挑战已知 A(1, 1)、B(5, 3)、C(3, 7)，求角 BAC。
- 挑战平行四边形 ABCD 中 A(0, 0)、B(4, 1)、D(1, 3)，求 C 及对角线交点。
- 挑战求一个与 (3, 4) 垂直的单位向量。
- 错题重练有学生由 a · b = a · c 直接得出 b = c。这个推论错在哪里？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | (4, 8) | P 走了全段四分之三，横向加 3、纵向加 6。 |
| 2 | AB · AC = 0，面积 24 | 两向量分别沿两轴，内积为零代表直角；面积为 6 乘 8 除 2。 |
| 3 | a · b = 0，|a + b| 约 3.16（√10） | 内积 2 减 2 得零；a + b 为 (3, −1)，长度约 3.16。 |
| 4 | t = −1 | 内积展开为 |a|² 加 t 乘 a · b，即 5 加 5t 等于零。 |
| 5 | a · b = 6，|a + b| 约 6.08（√37） | 内积为 3 乘 4 乘 0.5 得 6；平方展开 9 加 16 加 12 得 37。 |
| 6 | 约 143.13° | cos 等于负 8 除 10 得负 0.8，取反余弦得约 143.13 度。 |
| 7 | 45° | AB 与 AC 内积 20，长度分别为 √20 与 √40，cos 约 0.7071。 |
| 8 | C(5, 4)，交点 (2.5, 2) | C 等于 B 加 D，交点是 A 与 C 的中点。 |
| 9 | (−0.8, 0.6) | 把分量对调并变号得 (−4, 3)，再除以长度 5。 |
| 10 | 不能消去 a；只能得出 a 与 b − c 垂直 | 移项得 a · (b − c) 等于零，只表示 a 垂直于差向量。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。