中五物理｜圆周运动备课指引（导师用）｜角速度、向心加速度、向心力与转弯

2026-11-01

学生以为“向心力”是另一种力，于是画多一支箭头；这一堂要他们明白向心力只是一个角色，由现成的力（张力、摩擦力、重力）兼职。

本堂目标　学生能够：① 由周期算出角速度 ω 与线速度 v，并讲出 v = ωr 的关系；② 用 a = v²/r = ω²r 算向心加速度，指出它永远指向圆心；③ 指出圆周运动中哪一个真实的力提供向心力，并在竖直圆周最高点用 mg = mv²/r 求最小速率。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
速率与速度	速度有方向，方向变即速度变	匀速圆周仍然有加速度
牛顿第二定律	F = ma	F = 37.0 N
向量加减	速度向量首尾相接	Δv 指向圆心

02　课堂流程（50 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–8 分	角度与弧度	一圈 = 2π rad	ω = 7.85 rad/s
8–18 分	线速度	r = 1.5 m，T = 0.8 s	v = 11.78 m/s
18–30 分	向心加速度	v 与 r	a = 92.5 m/s²
30–40 分	向心力由谁提供	m = 0.4 kg	F = 37.0 N
40–46 分	竖直圆周最高点	r = 1.5 m	v_min = 3.84 m/s
46–50 分	离场检查	三题即场判	独立作答

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：角速度：先讲“几快转一圈”

周期 T = 0.8 s 即 1.25 Hz，也就是每秒转 1.25 圈，换成每分钟 75 转。角速度 ω = 2π/T = 7.85 rad/s，意思是每秒扫过 7.85 弧度。
弧度不是多余的单位：只有用弧度，弧长 s = rθ 与 v = ωr 才成立。如果学生用度数代入 v = ωr，答案会细 57 倍左右，因为 1 rad ≈ 57.3°。要他们习惯先写“一圈 = 2π rad”，再写周期。

要学生做：把 T = 0.8 s 换成 ω、f、rpm 三个数，并讲出三个数各自的意义。

第二幕：线速度与向心加速度：方向才是难点

v = ωr = 7.85 × 1.5 = 11.78 m/s。速率不变，但方向不停变，所以速度在变，所以有加速度。a = v²/r = 11.78² / 1.5 = 92.5 m/s²，也可以写成 ω²r，两条式结果一样。
这里最容易出错的是把 a 画成沿切线。要学生记：Δv 是“新速度减旧速度”，两支向量首尾相接，相减的结果指向圆心，所以加速度指向圆心，叫向心加速度。顺便讲数量级：92.5 m/s² 大约是 9.4 g，比重力加速度大得多，所以转弯时人会被压向一边。

要学生做：画出圆上两点的速度向量，用向量相减画出 Δv，指出它指向圆心。

第三幕：向心力：问“边个力做这件事”

向心力不是新一种力，它是“需要多少指向圆心的合力”。F = ma = 0.4 × 92.5 = 37.0 N。然后一定要问：这个力由谁提供？绳波是张力、转弯是静摩擦力、卫星是重力、过山车是重力加法向力。例如汽车以 14 m/s 转 r = 40 m 的弯，需要 a = 4.9 m/s²，即轮胎与路面之间的摩擦系数至少要 0.50，落雨路面达不到就会滑出去。
若学生答“有离心力推他出去”，要纠正：在惯性参考系里没有离心力，人感觉被推向外，是因为惯性想走直线。竖直圆周最高点：mg = mv²/r，v_min = √(gr) = √(9.81 × 1.5) = 3.84 m/s，慢过这个数就会离开轨道。

要学生做：为三个情境（绳波、转弯、卫星）各写出“向心力由＿＿提供”，并计出数值。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
由周期求 v 与 a	r = 1.5 m，T = 0.8 s	ω = 2π/T → v = ωr → a = v²/r	v = 11.78 m/s，a = 92.5 m/s²
由转速求向心力	m = 0.4 kg，75 rpm	ω = 2πf → F = mω²r	F = 37.0 N
转弯最小摩擦系数	v = 14 m/s，r = 40 m	μ = v²/(rg)	μ = 0.50
竖直圆周最高点	r = 1.5 m	mg = mv²/r	v_min = 3.84 m/s

合理性检查（一定要教）：向心加速度 92.5 m/s² 是 9.4 g，对 1.5 m 半径、0.8 s 周期来说合理；若学生算出 9.2 或 924，就是漏了小数点或用了度数。最小速率 3.84 m/s 必定细过实际速率 11.78 m/s，否则绳子一早松了。摩擦系数 0.50 落在 0 到 1 之间才现实，大过 1 代表数据有问题。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
r = 0.5 m，T = 0.4 s，求 v 与 a。	v = 7.85 m/s，a = 123.4 m/s²	先算 ω = 15.71 rad/s
m = 0.2 kg 以 120 rpm 在半径 0.3 m 转，求 F。	F ≈ 9.5 N	f = 2 Hz，ω = 12.57
竖直圆周 r = 0.8 m，最高点最小速率？	2.80 m/s	√(9.81 × 0.8)

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
向心力是额外一支力	受力图画出“向心力”箭头，同时又画张力	“向心力不系多一支力，系问边一支现成的力负责指向圆心。”
匀速圆周没有加速度	写“速率不变所以 a = 0”	“速率没有变，但方向变，速度就变，所以一定有加速度。”
用度数代 ω	ω = 360/T 再乘 r	“ω 一定要用弧度，一圈系 2π，不系 360。”
向心加速度画成切线	a 箭头沿速度方向	“Δv 指向圆心，所以 a 指向圆心；切线方向的系速度，不系加速度。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

中学物理章节索引（运动、力、波动、电学）　先做圆周运动再做引力
中学备课指引总览　全科索引

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
T = 0.5 s，ω 是多少？	12.57 rad/s	错＝重讲第一幕
向心加速度方向指向哪里？	圆心	错＝重讲第二幕
竖直圆周最高点为何会掉下来？	v 低于 √(gr)，法向力不足	错两题以上＝回到第三幕

09　导师常问

这一章适合哪个年级？

中五，DSE 物理“力与运动”单元的圆周运动部分；中四下学期也可先用。

要背几多条公式？

四条：ω = 2π/T、v = ωr、a = v²/r = ω²r、F = ma；其余由这四条推。

有无配套练习？

家课栏连到物理章节索引，可配引力与波动章节顺序排。

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本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。