DSE 数学｜二项式定理备课指引（导师用）

DSE 数学｜二项式定理备课指引（导师用）｜通项、常数项与系数和

2026-11-01

学生背得到 C(n,r)，但展开 (x + 3/x)^6 之后就找不到常数项。这一堂只建立一个习惯：先写通项、把指数写成 r 的表达式、再令它等于目标次方。

本堂目标　学生能够：① 写出 (a + b)ⁿ 的通项 T(r+1) = C(n,r) aⁿ⁻ʳ bʳ；② 由通项求指定次方的系数与常数项；③ 用代值法求系数和，并判断系数的正负。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
组合数	C(5,3) 等于多少	10
指数律	(2x)³ 的系数部分	8
解一次方程	6 − 2r = 0 的 r	3

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–8 分	展开的规律	巴斯卡三角形与 C(n,r)	写出 (a+b)³ 三行
8–20 分	通项公式	T(r+1) 的写法	学生自己写一次
20–34 分	指定次方系数	(1+2x)^5 的 x³	算出 80
34–46 分	常数项	(x+3/x)^6	算出 540
46–56 分	系数和与正负	代 x = 1 或 −1	和 = 243
56–60 分	离场检查	三题收回即批	独立完成

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：由巴斯卡三角形到组合数

(a + b)² 的系数是 1, 2, 1；(a + b)³ 是 1, 3, 3, 1，正正是 C(3,0) 至 C(3,3)。
所以 (a + b)ⁿ 的第 r+1 项系数是 C(n,r)，这就是二项式定理的全部来源，不需要另背公式。

要学生讲：C(6,2) 是多少、为何 (a+b)⁶ 中间两项系数相同（对称，C(6,2) = C(6,4)）。

第二幕：通项：一条公式处理所有题

通项 T(r+1) = C(n,r) · aⁿ⁻ʳ · bʳ，r 由 0 开始。
(1 + 2x)^5：a = 1、b = 2x、n = 5，所以 T(r+1) = C(5,r) · 2ʳ · xʳ。求 x³ 令 r = 3：C(5,3) × 2³ = 10 × 8 = 80。
(2 − x)⁷ 的 x⁴ 系数：C(7,4) × 2³ × (−1)⁴ = 35 × 8 = 280。

提醒：要先写清楚 a 与 b 各自是什么，b 的符号（负号）一定要跟进去。

第三幕：常数项与系数和

(x + 3/x)^6：T(r+1) = C(6,r) · x^(6−r) · (3/x)ʳ = C(6,r) · 3ʳ · x^(6−2r)。常数项要指数为 0：6 − 2r = 0 → r = 3，系数 = C(6,3) × 3³ = 20 × 27 = 540。
系数和：令 x = 1，(1 + 2)⁵ = 243；若要“奇次项减偶次项”，令 x = −1 再相加减。

要学生计：(x + 2/x)⁴ 的常数项（r = 2，C(4,2) × 2² = 24）。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
求系数	指定次方	写通项 → 令指数 = 目标 → 代 r	80
常数项	正负次方混合	令指数 = 0 解 r	540
系数和	全部系数相加	代 x = 1	243
判断	某项是否存在	解出的 r 必须是 0 至 n 的整数	r = 3 存在

合理性检查（一定要教）：解出的 r 必须是 0 至 n 之间的整数，否则该项不存在（答“没有此项”）。常数项一定是正数次方项与负数次方项抵消；系数和的数量级应与 a + b 的 n 次方相符。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
(1 + 2x)^5 的 x³ 系数	80	r = 3，C(5,3) × 8
(x + 3/x)^6 的常数项	540	6 − 2r = 0 → r = 3
(1 + 2x)^5 所有系数之和	243	代 x = 1

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
指数与 r 对调	答案用 C(5,2)	“T(r+1) 的 r 系 b 的次方，不好调乱。”
忘记 b 的系数次方	答 20	“(2x)³ 系 8x³，不系 2x³。”
常数项令 r = 0	答 C(6,0)	“要指数等于 0，不系 r 等于 0。”
负号漏掉	答 +280 而非 −280	“b 带负号，奇次项一定负。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

DSE 数学练习卷（二项式定理）　甲部第 9 至 10 题（系数与常数项）
中学数学章节索引　全科章节

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
(1 + 2x)^5 的 x³ 系数	80	三题全对＝可进概率
(x + 3/x)^6 的常数项	540	错一题＝下堂前重讲通项
求系数和应代哪个值	x = 1	错两题以上＝回到第一幕

09　导师常问

要背巴斯卡三角形吗？

不用背到很深，记住系数就是 C(n,r)，三角形只是辅助理解。

n 很大怎样算？

用计算机的 nCr 功能，DSE 容许，重点是写对通项。

常数项可以有多个吗？

在单一二项式展开中只有一个 r 令指数为 0，所以只有一个常数项。

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本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。