DSE 数学｜数学归纳法与二项式定理备课指引（导师用）

DSE 数学｜数学归纳法与二项式定理备课指引（导师用）｜三步证明、一般项与系数计算

2026-11-02

学生一见“证明对所有正整数成立”就空白，一见二项式就逐项乘开。这一堂把两件事都变成表格：归纳法三个格子，二项式一个一般项，之后全部题目都是填格。

本堂目标　学生能够：① 写齐数学归纳法三步，并指出为何缺一步就不算证明；② 用假设代换的手法处理整除型命题；③ 由一般项 T 等于 C(n,r) a 的 n 减 r 次方 b 的 r 次方，算出指定次方的系数、常数项与系数和。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
指数律	9 的 k 加 1 次方怎样拆	9 乘 9 的 k 次方
组合数	C(n,r) 怎样算	C(7,3) 等于 35
多项式	同类项合并	系数相加

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–12 分	归纳法三步	P(1)、假设 P(k)、证 P(k+1)	写齐三个格子
12–24 分	求和例	1 加到 n，用假设加最后一项	算出 5050
24–36 分	整除例	抽出 9 的 k 次方代换	写成 8 乘整数
36–48 分	二项式一般项	T 等于 C(n,r) a 的 n 减 r 次方 b 的 r 次方	写出 x 三次方的系数 280
48–56 分	常数项与系数和	指数等于 0；代 x 等于 1	算出 20 与 2,187
56–60 分	离场检查	三题收回即场批	三题全对

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：归纳法是三格表格，不是一段文字

第一步：验证 P(1)。第二步：假设 P(k) 成立。第三步：用第二步的假设证 P(k+1)。
例：证明 1 加到 n 等于 n(n+1)/2。P(1) 左边 1，右边 1 乘 2 除 2 等于 1。
假设 1 加到 k 等于 k(k+1)/2，则 1 加到 k+1 等于 k(k+1)/2 加 (k+1)，等于 (k+1)(k+2)/2，正是把 n 换成 k+1 的结果。
所以 1 加到 100 等于 5050。
最常见的失分：第二步写“假设 P(n) 成立”，然后第三步又证 P(n)——同一个字母既假设又证明，等于循环论证。

要学生讲：假设用边个字母，结论用边个字母（假设 k，结论 k+1）。

第二幕：整除型：把假设当成一块积木换入去

证明 9 的 n 次方减 1 可被 8 整除。P(1)：9 减 1 等于 8，等于 8 乘 1。
假设 9 的 k 次方减 1 等于 8m。则 9 的 k 加 1 次方减 1 等于 9 乘 9 的 k 次方减 1，代 9 的 k 次方等于 8m 加 1，得 9(8m 加 1) 减 1 等于 72m 加 8 等于 8(9m 加 1)。
因为 9m 加 1 是整数，命题对 k+1 成立。
验算 n 等于 3：9 的三次方减 1 等于 728，等于 8 乘 91。
技巧只有一句：把 9 的 k 次方整块换成假设的样子，不要展开。

要学生讲：9 的 k 加 1 次方要拆成乜（9 乘 9 的 k 次方）。

第三幕：二项式：写一般项，不要逐项乘开

一般项 T 等于 C(n,r) 乘 a 的 n 减 r 次方乘 b 的 r 次方。
(1 加 2x) 的 7 次方：x 三次方的系数是 C(7,3) 乘 2 的三次方，即 35 乘 8 等于 280；x 二次方系数是 C(7,2) 乘 4 等于 84。
(x 加 1 除 x) 的 6 次方：常数项要 x 的指数等于 0，即 r 等于 3，系数 C(6,3) 等于 20。
系数和：把 x 等于 1 代入，得 3 的 7 次方等于 2,187。
“系数”同“项”要分：x 三次方的系数是 280，x 三次方项是 280x³。

要学生讲：求常数项时 r 由边条式定（指数等于 0）。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
证明	归纳法三步	P(1)、假设 P(k)、证 P(k+1)	三步齐全才给分
证明	整除型	假设写成 8m，代换 9 的 k 次方	写成 8 乘整数
计算	指定次方系数	T 等于 C(n,r) a 的 n 减 r 次方 b 的 r 次方	x 三次方系数 280
计算	常数项与系数和	指数等于 0 定 r；代 x 等于 1 求系数和	20 与 2,187

合理性检查（一定要教）：归纳法三步缺一不可，尤其 P(1)：没有起点，后面几靓都系循环论证。
假设与结论的字母要分开，假设 k、结论 k+1；同一个字母出现在两边就系抄答案。
二项式系数对称：C(7,3) 等于 C(7,4) 等于 35，算出嚟不对称就一定错。
常数项不一定在中间：指数方程解出的 r 要落在 0 到 n 之间，r 大过 n 就代表没有常数项。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
1 加到 100 等于几多	5050	n(n+1) 除 2
9 的三次方减 1 是否可被 8 整除	728 等于 8 乘 91	验算第一步
(1 加 2x) 的 7 次方中 x 三次方的系数	280	C(7,3) 乘 8

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
假设与结论用同一字母	“假设 P(n) 成立，证明 P(n)”	“假设用 k，要证的是 k+1，两个字母一定要分开。”
省掉 P(1)	“假设成立就得”	“没有 P(1) 就没有起点，成条链断，零分。”
把系数当成项	“答案 280x³”但题目问系数	“问系数就只写 280，问项才写 280x³。”
常数项乱设 r 等于 0	“常数项就是第一项”	“要解指数等于 0，(x 加 1 除 x) 的 6 次方系 r 等于 3。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

练习：数学归纳法三步书写　三个格子逐格填
练习：二项式一般项与系数　先写 T 再代数字
全部备课指引　对照十节结构

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
1 加到 100	5050	三题全对＝可进进阶组合
(1 加 2x) 的 7 次方 x 三次方系数	280	错一题＝下堂前重写一般项
(x 加 1 除 x) 的 6 次方常数项	20	错两题以上＝回到第三幕

09　导师常问

归纳法一定要写文字解释吗？

要，尤其“由假设推出 k+1”那一步要写理由；只写算式不写“所以命题成立”会失分。

二项式要背展开式吗？

不必，背一般项就够；展开式在 n 小的时候可以用来验算。

系数和为何代 x 等于 1？

因为每项的 x 都变成 1，剩低的正好是所有系数相加。

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