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中六数学 定积分与面积：曲线下面积（第二份：进阶）
中六数学 定积分与面积：曲线下面积（第二份：进阶）
十题曲线下面积与两曲线之间面积，先找交点再定上下限，附答案与解说。
直接答案 第 1 至 10 题答案依次为 8/3、1/6、4/3、2、32/3、4/3、1、4/3、1/2、1/6。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 20 |
| 难度分布 | 基础 3 · 进阶 3 · 挑战 3 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中六数学 定积分与面积 |
| 适用年级 | 中六 |
02 题目（10 题）
- 基础求曲线 y = x² 与 x 轴在 x = 0 至 x = 2 之间的面积。
- 基础求曲线 y = x² 与直线 y = x 所围成的面积。
- 基础计算 ∫₀¹ (x² + 1) dx。
- 进阶计算 ∫₁⁴ (1/√x) dx。
- 进阶求曲线 y = 4 − x² 与 x 轴所围成的面积。
- 进阶求曲线 y = x² 与直线 y = 2x 所围成的面积。
- 挑战计算 ∫₀^(π/2) cos x dx。
- 挑战求曲线 y = x² − 4x + 3 与 x 轴在 x = 1 与 x = 3 之间所围成的面积。
- 挑战求曲线 y = 1/x² 与 x 轴在 x = 1 与 x = 2 之间的面积。
- 错题重练错题重练：有学生用 ∫₀¹ (x² − x) dx 得 −1/6，并答面积为 −1/6。正确面积是多少？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | 8/3（约 2.67） | 面积是 ∫₀² x² dx，原函数 x³/3 得 8/3。 |
| 2 | 1/6（约 0.17） | 两线交于 x = 0 与 x = 1，积分 x − x² 得 1/2 − 1/3 = 1/6。 |
| 3 | 4/3 | 原函数是 x³/3 + x，1/3 加 1 得 4/3。 |
| 4 | 2 | 1/√x 的原函数是 2√x，代入 4 得 4、代入 1 得 2。 |
| 5 | 32/3（约 10.67） | 交 x 轴于正负 2，对称面积为 2 乘 ∫₀² (4 − x²) 得 32/3。 |
| 6 | 4/3 | 交于 0 与 2，积分 2x − x² 得 4 − 8/3 = 4/3。 |
| 7 | 1 | 原函数是 sin x，上限得 1、下限得 0。 |
| 8 | 4/3 | 曲线在此区间位于 x 轴下方，积分得 −4/3，面积取 4/3。 |
| 9 | 1/2 | 原函数是 −1/x，代入 2 与 1 得 −1/2 与 −1，相差 1/2。 |
| 10 | 1/6 | 面积要取绝对值，1/6 才是面积，负号只表示曲线在 x 轴下方。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。