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中六数学 定积分与面积：综合应用（第三份：挑战）
中六数学 定积分与面积：综合应用（第三份：挑战）
十题定积分综合应用，含未知上限、平均值与对称区间的面积陷阱。
直接答案 第 1 至 10 题答案依次为 4、2 + π、9/2、3、4、3、8、32/3、0.807、1/2。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 20 |
| 难度分布 | 基础 3 · 进阶 3 · 挑战 3 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中六数学 定积分与面积 |
| 适用年级 | 中六 |
02 题目（10 题）
- 基础求曲线 y = x³ 与 x 轴在 x = 0 至 x = 2 之间的面积。
- 基础计算 ∫₀^π (sin x + 1) dx。
- 基础求直线 y = 3x 与曲线 y = x² 所围成的面积。
- 进阶已知 ∫₀^a x² dx = 9，且 a > 0，求 a。
- 进阶已知 ∫₀^k 2x dx = 16，且 k > 0，求 k。
- 进阶求函数 f(x) = x² 在区间 [0, 3] 上的平均值。
- 挑战求曲线 y = x³ 与直线 y = 4x 所围成区域的总面积。
- 挑战求曲线 y = x² 与直线 y = 2x + 3 所围成的面积。
- 挑战计算 ∫₁² (x − 1/x) dx，答案取三位小数。
- 错题重练错题重练：有学生算 ∫₋₁¹ x³ dx 得 0，并答面积为 0。正确面积是多少？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | 4 | 面积是 ∫₀² x³ dx，原函数 x⁴/4 得 4。 |
| 2 | 2 + π（约 5.14） | sin x 的积分得 2，常数 1 的积分得 π，相加为 2 + π。 |
| 3 | 9/2（即 4.5） | 交于 0 与 3，积分 3x − x² 得 13.5 − 9 = 4.5。 |
| 4 | 3 | 原函数 x³/3 得 a³/3 = 9，所以 a³ = 27，取 a = 3。 |
| 5 | 4 | 原函数 x² 得 k² = 16，取正根得 k = 4。 |
| 6 | 3 | 平均值等于积分除以区间长度，9 除以 3 得 3。 |
| 7 | 8 | 交于 0 与正负 2，两块对称，每块 4，总面积 8。 |
| 8 | 32/3（约 10.67） | 交于 x = −1 与 x = 3，积分 3 + 2x − x² 得 9 减 −5/3 等于 32/3。 |
| 9 | 0.807 | 原函数 x²/2 − ln x，1.5 − 0.693 约 0.807。 |
| 10 | 1/2 | 奇函数在对称区间积分为 0，但左右两块面积要相加，得 2 乘 1/4 = 1/2。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
遇到未知上限就先写出积分式，再解方程，不要凭感觉猜。导师登记 →
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。