DSE 数学｜概率备课指引（导师用）｜样本空间、条件概率与独立事件

2026-11-01

学生背得出 P(A∪B) 公式，但一见“至少”就乱加，一见“已知”就当普通概率。问题不在公式，在于没有先把样本空间写出来。这一堂把“先列样本空间”变成开题第一个动作，之后所有题目同一个起手。

本堂目标　学生能够：① 用列表或树状图写出样本空间并数清总数；② 分辨互斥与独立，正确选加法或乘法；③ 处理“至少”时用反面扣除；④ 读懂“已知⋯⋯求”的条件概率并收窄分母。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
分数运算	约分与通分要熟	6/36 化简为 1/6
列举法	有系统地列出结果	骰仔用 (1,1) 到 (6,6) 的表格
集合概念	交集与联集	A∩B 是两件事同时发生

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–10 分	样本空间	先数总数，不谈公式	两个骰仔共 36 个结果
10–24 分	加法法则	互斥才可以直接加	P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)
24–38 分	乘法法则	独立才可以乘	0.6×0.5=0.3
38–48 分	条件概率	分母要收窄	已知是面牌，分母由 52 变 12
48–55 分	“至少”题	反面扣除最快	三枚硬币至少一个公＝1−1/8
55–60 分	离场检查	三题收回即批	独立完成

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：第一个动作：先把样本空间写出来

两枚骰仔，总共 36 个有序结果，写成 6×6 的表格，不要靠脑补。和为 7 的组合是 (1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)，共 6 个，所以 P(和为 7) = 6/36 = 1/6。
学生最常错的是把 (1,6) 与 (6,1) 当同一个，总数就变成 21，之后全错。要学生讲：两枚骰仔一样点数，为什么仍然是两个结果？（因为第一枚和第二枚是两件不同物件。）

要学生做：用表格列出和为 8 的所有结果，并数出共有几个。

第二幕：加法与乘法：先问互斥还是独立

互斥＝不能同时发生，才可以 P(A∪B) = P(A) + P(B)。可以同时发生就要减去交集，例如抽一张牌是红桃或老 K。独立＝一件事发生不影响另一件，才可以相乘：A 发生机会 0.6、B 是 0.5，同时发生就是 0.6×0.5 = 0.3。
判断独立的关键句是“放回”与“不影响”。抽牌不放回就不是独立，第二张要改分母。要学生计：两件事都不发生的机会是 (1−0.6)×(1−0.5) = 0.2。

提醒：把“互斥”与“独立”混在一起，是这一章最大失分位。

第三幕：条件概率与“至少”：两个固定动作

“已知抽到面牌，求它是老 K”：分母收窄为 12 张面牌，分子 4 张老 K，答案 4/12 = 1/3，不是 4/52。“3 枚硬币至少一个公”：反面是完全没有公，机会 1/8，所以答案 1−1/8 = 7/8。
条件概率的写法是 P(A|B) = P(A∩B) ÷ P(B)，但课堂上先教“收窄分母”，公式留到最后才写。要学生讲：“至少”题为什么用反面扣？（因为正面要分一个公、两个公、三个公，容易漏。）

要学生做：掷两枚骰仔，求至少一个是 6 的机会（11/36）。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
单一事件	两骰和为 7	数样本空间	6/36=1/6
联集	红桃或老 K	减去交集	13/52+4/52−1/52
独立相乘	A 0.6、B 0.5	直接相乘	0.3
条件概率	已知面牌求老 K	收窄分母	4/12=1/3

合理性检查（一定要教）：任何概率都要在 0 与 1 之间，计出 1.2 就一定错。样本空间总数要数得清：两骰 36、三硬币 8、一副牌 52。条件概率的答案通常比无条件大，因为分母收窄了：1/3 大于 4/52。独立事件相乘后应该变小：0.3 小于 0.6 与 0.5。“至少”与“至多”互补，两个答案相加必须等于 1。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
两骰和为 7 的机会	1/6	6/36 约简
三硬币至少一个公	7/8	1 − 1/8
已知面牌求老 K	1/3	分母收窄为 12

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
(1,6) 与 (6,1) 当一个	总数变 21	“两枚骰仔系两件东西，倒转都算一个结果。”
互斥与独立混淆	把独立事件相加	“可以同时发生就不系互斥，不可以就这么加。”
条件概率照用 52	答 4/52	“已知了系面牌，分母已经变了 12。”
“至少”逐个情况加	漏了两个公的情况	“用 1 减去完全没有，快而且不会漏。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

中学数学章节索引　第 4、6 题同类型
备课指引总目录　同科其他章节
小学数学测验卷　分数运算热身

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
两骰和为 8 的机会	5/36	三题全对＝可进统计
P(A\|B) 的分母是什么	B 的样本空间	错一题＝下堂重讲
“至少一个”的做法	用 1 减去完全没有	错两题以上＝回到第一幕

09　导师常问

互斥同独立点分？

互斥讲“可不可以同时发生”，独立讲“一件事会不会影响另一件”，两者无关，可以既非互斥亦非独立。

为什么条件概率分母要收窄？

因为“已知 B 发生”等于把样本空间限制在 B 之内，所有机会都要在 B 里面重新计。

“至少”题一定用反面吗？

多数情况是，尤其涉及三次以上；只有两三个情况时正面列举也可以，但要写齐。

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本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。