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DSE 数学练习卷：概率与统计
练习卷 · DSE 数学 概率与统计全卷
本卷 12 题、100 分、75 分钟，涵盖组合与排列、二项与泊松分布、正态分布、条件概率与贝氏定理、数据描述与标准差、回归与相关系数、期望值、置信区间与分层抽样；所有数值由程式计算并逐项验证，适合中六文凭试数学（必修部分）考生作全卷计时练习。
卷面资料 年级：中六（S6） ｜ 科目：数学 ｜ 时限：75 分钟 ｜ 总分：100 分 ｜ 题数：12
甲部（Q1–Q4）：组合、二项与正态分布（32 分）
每题 8 分，须列出计算步骤。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | 袋中有红球 6 个、蓝球 4 个、绿球 5 个，共 15 个。随机抽出 3 个球（不放回）。 (a) 求抽出 3 球的所有组合数。（2 分） (b) 求 3 球同色的概率。（3 分） (c) 求 3 球中恰有 2 个红球的概率。（3 分） |
(a) 组合数 = C(15,3) = 455。[2 分] (b) 同色组合 = C(6,3) + C(4,3) + C(5,3) = 20 + 4 + 10 = 34；概率 = 34 ÷ 455 = 0.0747。[3 分] (c) 恰 2 红 = C(6,2) × C(9,1) = 15 × 9 = 135；概率 = 135 ÷ 455 = 0.2967。[3 分] |
| 2 | 某游戏每次成功的概率为 0.3，独立重复玩 10 次，设 X 为成功次数。 (a) 求 P(X = 3)。（3 分） (b) 求 X 的平均值及标准差（4 位小数）。（2 分） (c) 求至少成功 1 次的概率。（3 分） |
(a) P(X = 3) = C(10,3)(0.3)³(0.7)⁷ = 120 × 0.027 × 0.0824 = 0.2668。[3 分] (b) 平均 = np = 3；方差 = np(1 − p) = 2.1；标准差 = 1.4491。[2 分] (c) P(X ≥ 1) = 1 − 0.7¹⁰ = 1 − 0.0282 = 0.9718。[3 分] |
| 3 | 某科测验成绩呈正态分布，平均 52 分，标准差 8 分。 (a) 求成绩高于 60 分的概率。（3 分） (b) 求成绩介乎 44 分与 60 分之间的概率。（2 分） (c) 若只有最高 10% 学生获甲级，求甲级的最低分数（取 1 位小数）。（3 分） |
(a) z = (60 − 52) ÷ 8 = 1；P(Z > 1) = 0.1587。[3 分] (b) P(44 < X < 60) = P(−1 < Z < 1) = 0.6827。[2 分] (c) 单尾 10% 的 z = 1.2816；最低分 = 52 + 1.2816 × 8 = 62.3。[3 分] |
| 4 | 工厂 A 生产全部货品的 60%，工厂 B 生产其余 40%。A 的不良率为 2%，B 的不良率为 5%。 (a) 求随机抽一件货品为不良品的概率。（3 分） (b) 已知抽到不良品，求它来自工厂 A 的概率。（3 分） (c) 独立抽 3 件，求至少 1 件不良的概率。（2 分） |
(a) P(不良) = 0.6 × 0.02 + 0.4 × 0.05 = 0.012 + 0.020 = 0.032。[3 分] (b) P(A | 不良) = 0.012 ÷ 0.032 = 0.375。[3 分] (c) 1 − 0.968³ = 1 − 0.9070 = 0.0929。[2 分] |
乙部（Q5–Q8）：数据描述、回归与独立性（36 分）
每题 9 分，须列式并加以说明。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 5 | 某班 8 名学生的测验分数为：[12, 15, 15, 18, 20, 22, 25, 33]。 (a) 求平均数、中位数及众数。（3 分） (b) 求标准差（总体，取 3 位小数）。（3 分） (c) 若新增一名得 60 分的学生，求新的平均数及中位数。（3 分） |
(a) 平均 = 160 ÷ 8 = 20；中位数 = (18 + 20) ÷ 2 = 19；众数 = 15。[3 分] (b) 平方离差和 = 316；方差 = 316 ÷ 8 = 39.5；标准差 = 6.285。[3 分] (c) 新平均 = 220 ÷ 9 = 24.44；新中位数 = 20（排序后第 5 个数）。[3 分] |
| 6 | 某 5 间分店的广告支出 x（千元）与营业额 y（万元）如下：x = [1, 2, 3, 4, 5]，y = [2, 4, 5, 8, 11]。 (a) 求 y 对 x 的回归直线方程（斜率及截距取 1 位小数）。（4 分） (b) 估计广告支出 7 千元时的营业额。（2 分） (c) 求相关系数 r，并评论以 x = 7 作预测是否可靠。（3 分） |
(a) x̄ = 3、ȳ = 6；Sxy = 22、Sxx = 10；斜率 = 22 ÷ 10 = 2.2，截距 = 6 − 2.2 × 3 = −0.6；方程 y = −0.6 + 2.2x。[4 分] (b) x = 7 时 y = −0.6 + 2.2 × 7 = 14.8。[2 分] (c) r = 22 ÷ √(10 × 50) = 0.984，属极强正相关；但 x = 7 超出数据范围（1 至 5），属外推，未必可靠。[3 分] |
| 7 | 从 6 名男生及 5 名女生中选出 4 人组成委员会。 (a) 求所有可能的组合数。（2 分） (b) 求恰有 2 名女生的概率（4 位小数）。（3 分） (c) 求至少 1 名女生的概率（4 位小数）。（2 分） (d) 若委员会须由 1 名女生任主席，其余 3 人无性别限制，求组合数。（2 分） |
(a) C(11,4) = 330。[2 分] (b) C(5,2) × C(6,2) = 10 × 15 = 150；概率 = 150 ÷ 330 = 0.4545。[3 分] (c) 全男组合 C(6,4) = 15；P(至少 1 女) = 1 − 15 ÷ 330 = 0.9545。[2 分] (d) 女生任主席有 5 种选法，其余 3 人从余下 10 人选出：5 × C(10,3) = 5 × 120 = 600。[2 分] |
| 8 | 某校 200 名学生中，120 人修数学，90 人修物理，60 人两科皆修。随机选 1 人。 (a) 求该生修数学或物理的概率。（2 分） (b) 已知该生修数学，求他修物理的概率。（3 分） (c) 判断“修数学”与“修物理”是否独立，须以计算说明。（2 分） (d) 求只修其中一科的人数。（2 分） |
(a) (120 + 90 − 60) ÷ 200 = 0.75。[2 分] (b) 60 ÷ 120 = 0.5。[3 分] (c) P(数) × P(物) = 0.6 × 0.45 = 0.27，而 P(两科) = 0.3；0.27 ≠ 0.3，故两者不独立。[2 分] (d) (120 − 60) + (90 − 60) = 60 + 30 = 90 人。[2 分] |
丙部（Q9–Q12）：泊松、期望值与抽样（32 分）
每题 8 分，答案须取适当小数位。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 9 | 某服务站每小时平均接到 2.5 个电话，每小时电话数符合泊松分布。 (a) 求一小时内没有电话的概率（4 位小数）。（2 分） (b) 求一小时内至少 3 个电话的概率（4 位小数）。（3 分） (c) 写出每小时电话数的平均值、方差及标准差（4 位小数）。（3 分） |
(a) P(X = 0) = e⁻²·⁵ = 0.0821。[2 分] (b) P(X ≤ 2) = 0.0821 + 0.2052 + 0.2565 = 0.5438；P(X ≥ 3) = 1 − 0.5438 = 0.4562。[3 分] (c) 泊松分布平均 = 方差 = 2.5；标准差 = √2.5 = 1.5811。[3 分] |
| 10 | 某抽奖每次收费 $6，奖金 X 的分布为：P(X = 0) = 0.7、P(X = 10) = 0.25、P(X = 50) = 0.05。 (a) 求 E(X)。（3 分） (b) 求每局的期望净收益，并判断长期是否值得玩。（3 分） (c) 求公平收费应为多少。（2 分） |
(a) E(X) = 0 × 0.7 + 10 × 0.25 + 50 × 0.05 = 0 + 2.5 + 2.5 = 5。[3 分] (b) 期望净收益 = 5 − 6 = −1，即每局平均蚀 $1，长期不值得玩。[3 分] (c) 公平收费 = E(X) = $5。[2 分] |
| 11 | 从某区随机抽取 100 名学生，平均每日温习 68 分钟，标准差 12 分钟。 (a) 求平均数的标准误。（2 分） (b) 求平均温习时间的 95% 置信区间（取 2 位小数，z = 1.96）。（3 分） (c) 若样本增至 400 人，标准误及区间宽度如何改变？写出新的标准误。（3 分） |
(a) 标准误 = 12 ÷ √100 = 1.2。[2 分] (b) 68 ± 1.96 × 1.2 = 68 ± 2.352，即 (65.65, 70.35)。[3 分] (c) n = 400 时标准误 = 12 ÷ 20 = 0.6；区间宽度由 4.70 收窄至 2.35，估计更精确。[3 分] |
| 12 | 某校各级人数：中一 300、中二 300、中三 250、中四 200、中五 100、中六 50，共 1200 人。现以分层抽样抽出 120 人。 (a) 求抽样比例。（3 分） (b) 求各级应抽人数。（3 分） (c) 说明分层抽样较简单随机抽样优胜之处。（2 分） |
(a) 抽样比例 = 120 ÷ 1200 = 0.1，即 10%。[3 分] (b) 中一 30、中二 30、中三 25、中四 20、中五 10、中六 5，合共 120 人。[3 分] (c) 分层抽样保证各级均有代表，减少抽样误差，比简单随机抽样更能反映母体结构。[2 分] |
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