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DSE 数学（必修部分）练习卷：二次方程、函数与图像（12 题・100 分・75 分钟）
练习卷 · DSE 数学必修 二次方程与函数图像全卷
本卷涵盖二次方程的解法、判别式与根的性质、配方法与顶点、根与系数的关系、函数图像变换、二次不等式、图像截距、应用最值题与联立方程，共 12 题，分甲、乙、丙三部，总分 100 分，时限 75 分钟，每题均须列出步骤与单位，并附完整答案与评分要点，适合中六学生备战文凭试。
卷面资料 年级：中六（S6） ｜ 科目：数学 ｜ 时限：75 分钟 ｜ 总分：100 分 ｜ 题数：12
甲部（32 分）
解方程、判别式、配方法与根与系数的关系，须列出步骤及化简过程。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | 解下列各二次方程。 (a) x² − 5x + 6 = 0 (b) 2x² + 3x − 2 = 0 (c) x² + 4x + 1 = 0（答案以根式表示） |
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0，故 x = 2 或 x = 3。 (b) 判别式 = 判别式 = 3² − 4(2)(−2) = 9 + 16 = 25；x = (−3 ± 5)/4，故 x = 1/2 或 x = −2。 (c) 判别式 = 4² − 4(1)(1) = 12；x = (−4 ± √12)/2 = −2 ± √3。 |
| 2 | 设 k 为常数。 (a) 若 x² + kx + 9 = 0 有两个相等实根，求 k 的两个可能值。 (b) 判断 2x² − 4x + 5 = 0 的根的性质，并说明理由。 |
(a) 有相等实根须判别式 = 0：k² − 4(1)(9) = 0，即 k² = 36，故 k = 6 或 k = −6。 (b) 判别式 = (−4)² − 4(2)(5) = 16 − 40 = −24，小于 0，故方程没有实根，两根为一对共轭复数。 |
| 3 | 已知 y = x² − 6x + 5。 (a) 以配方法把 y 写成 (x − h)² + k 的形式。 (b) 写出图像的顶点及对称轴。 (c) 求 y 的最小值及其对应的 x 值。 |
(a) y = x² − 6x + 5 = (x² − 6x + 9) − 9 + 5 = (x − 3)² − 4。 (b) 顶点为 (3, −4)，对称轴为直线 x = 3。 (c) 因 (x − 3)² ≥ 0，故 y ≥ −4；最小值为 −4，于 x = 3 时取得。 |
| 4 | 设 α 及 β 为方程 3x² − 5x − 2 = 0 的两个根。 (a) 求 α + β 及 αβ。 (b) 求 α² + β² 的值。 (c) 求以 α + 1 及 β + 1 为根的二次方程，并以整系数表示。 |
(a) α + β = 5/3，αβ = −2/3。 (b) α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 25/9 + 4/3 = 37/9。 (c) 新根之和 = 5/3 + 2 = 11/3，新根之积 = αβ + (α + β) + 1 = −2/3 + 5/3 + 1 = 2；故所求方程为 x² − (11/3)x + 2 = 0，即 3x² − 11x + 6 = 0。 |
乙部（36 分）
函数图像、二次不等式、图像特征与应用题，须清楚说明理由。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 5 | 已知 f(x) = 2x² − 8x + 3。 (a) 把 f(x) 写成 a(x − h)² + k 的形式。 (b) 描述 y = f(x) 的图像如何由 y = 2x² 的图像经平移得出。 (c) 解方程 f(x) = 3。 |
(a) f(x) = 2(x² − 4x) + 3 = 2[(x − 2)² − 4] + 3 = 2(x − 2)² − 5。 (b) 把 y = 2x² 的图像向右平移 2 单位、向下平移 5 单位，即得 y = f(x) 的图像；顶点由 (0, 0) 移至 (2, −5)。 (c) 2(x − 2)² − 5 = 3，即 (x − 2)² = 4，故 x − 2 = ±2，即 x = 4 或 x = 0。 |
| 6 | 解下列二次不等式。 (a) x² − x − 6 ≤ 0 (b) 2x² + 5x − 3 > 0 |
(a) (x − 3)(x + 2) ≤ 0，临界值为 −2 及 3，故解为 −2 ≤ x ≤ 3。 (b) 2x² + 5x − 3 = (2x − 1)(x + 3) > 0，临界值为 −3 及 1/2，故解为 x 小于 −3 或 x 大于 1/2。 |
| 7 | 已知曲线 y = x² − 4x + 3。 (a) 求图像与 x 轴及 y 轴的交点。 (b) 求图像的顶点。 (c) 判断图像的开口方向，并写出 y 的最小值。 |
(a) 令 y = 0：(x − 1)(x − 3) = 0，x 轴交点为 (1, 0) 及 (3, 0)；令 x = 0，得 y 轴交点 (0, 3)。 (b) y = (x − 2)² − 1，故顶点为 (2, −1)。 (c) x² 的系数为正（1 > 0），图像开口向上；最小值为 −1，于 x = 2 时取得。 |
| 8 | 一个长方形花园的周界为 40 m，面积为 96 m²。 (a) 设花园的阔为 x m，以 x 表示它的长。 (b) 建立一个关于 x 的二次方程。 (c) 求花园的长和阔。 |
(a) 长 + 阔 = 40 ÷ 2 = 20，故长为 (20 − x) m。 (b) 面积 = x(20 − x) = 96，即 x² − 20x + 96 = 0。 (c) (x − 8)(x − 12) = 0，故 x = 8 或 x = 12；花园的尺寸为 12 m × 8 m（核对：周界 = 40 m，面积 = 96 m²）。 |
丙部（32 分）
联立方程、等根条件、最值应用与由根与系数反求参数，须写出完整过程。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 9 | 解联立方程：y = x + 1 及 y = x² − 1。 | 由两式得 x² − 1 = x + 1，即 x² − x − 2 = 0，亦即 (x − 2)(x + 1) = 0，故 x = 2 或 x = −1。 当 x = 2，y = 3；当 x = −1，y = 0。 解为 (2, 3) 及 (−1, 0)。 |
| 10 | 已知方程 x² + (k − 2)x + 9 = 0 有两个相等实根，其中 k 为常数。 (a) 建立一个关于 k 的方程。 (b) 求 k 的所有可能值。 (c) 就每个 k 值写出对应方程及其重根。 |
(a) 判别式 = (k − 2)² − 4(1)(9) = 0，即 (k − 2)² = 36。 (b) k − 2 = ±6，故 k = 8 或 k = −4。 (c) 当 k = 8，方程为 x² + 6x + 9 = 0，即 (x + 3)² = 0，重根为 x = −3；当 k = −4，方程为 x² − 6x + 9 = 0，即 (x − 3)² = 0，重根为 x = 3。 |
| 11 | 某店售卖一款产品：当售价为 $p 时，每月可售出 (120 − 2p) 件。 (a) 以 p 表示每月的收入 R。 (b) 以配方法求 R 的最大值。 (c) 求使收入达到最大的售价，并求此时售出的件数。 |
(a) R = p(120 − 2p) = −2p² + 120p。 (b) R = −2(p² − 60p) = −2[(p − 30)² − 900] = −2(p − 30)² + 1800；因 (p − 30)² ≥ 0，故 R ≤ 1800，即最大收入为 $1,800。 (c) 最大值于 p = 30 时取得，故售价为 $30；此时售出 120 − 60 = 60 件，收入 30 × 60 = $1,800。 |
| 12 | 设 α 及 β 为方程 x² − 7x + k = 0 的两个根，其中 k 为常数。已知 α² + β² = 25。 (a) 以 k 表示 α² + β²。 (b) 求 k。 (c) 由此求 α 及 β。 |
(a) α + β = 7，αβ = k，故 α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 49 − 2k。 (b) 49 − 2k = 25，即 2k = 24，故 k = 12。 (c) 方程为 x² − 7x + 12 = 0，即 (x − 3)(x − 4) = 0，故 α 及 β 为 3 及 4（核对：3 + 4 = 7，3² + 4² = 25）。 |
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