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DSE 数学（必修部分）练习卷：三角学与坐标几何（12 题・50 分・75 分钟）
练习卷 · DSE 数学三角学与坐标几何全卷
DSE 数学（必修部分）练习卷：12 题原创题目、50 分、75 分钟，涵盖三角比、正弦与余弦定理、三角方程、仰角与俯角、两点距离与中点、直线方程、点到直线距离及圆的方程，每题附完整步骤与评分要点。 适合中六应试。 适合中六应试。
卷面资料 年级：中六（S6） ｜ 科目：数学 ｜ 时限：75 分钟 ｜ 总分：50 分 ｜ 题数：12
甲部（Q1–Q6）：三角学
回答下列各题，须列出计算步骤。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | 在直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，AB = 17 cm，BC = 8 cm。(a) 求 AC 的长度。(b) 以分数表示 sin A、cos A 及 tan A。 | (a) AC² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225，故 AC = 15 cm。（2 分）(b) sin A = BC ÷ AB = 8/17，cos A = AC ÷ AB = 15/17，tan A = BC ÷ AC = 8/15。（2 分） |
| 2 | 不使用计算机，求 (sin 30° cos 60° + tan 45°) ÷ sin² 45° 的值。 | sin 30° = cos 60° = 1/2，tan 45° = 1，sin² 45° = 1/2。（2 分）分子 = 1/4 + 1 = 5/4，故原式 = (5/4) ÷ (1/2) = 5/2。（2 分） |
| 3 | 三角形的三边长为 7 cm、8 cm 及 9 cm。求最大角的大小，准确至 0.1°。 | 最大角对最长边 9 cm。由余弦定理，cos C = (7² + 8² − 9²) ÷ (2 × 7 × 8) = 32 ÷ 112 = 2/7。（2 分）C = 73.4°，准确至 0.1°。（2 分） |
| 4 | 三角形其中两边长 6 cm 及 10 cm，夹角为 30°。(a) 求该三角形的面积。(b) 求第三边的长度，准确至 3 位有效数字。 | (a) 面积 = (1/2) × 6 × 10 × sin 30° = 15 cm²。（2 分）(b) 第三边² = 6² + 10² − 2 × 6 × 10 × cos 30° = 136 − 60√3 ≈ 32.08，故第三边 ≈ 5.66 cm。（2 分） |
| 5 | 解方程 2 sin² x + sin x − 1 = 0，其中 0° ≤ x ≤ 360°。 | 设 u = sin x，得 2u² + u − 1 = 0，即 (2u − 1)(u + 1) = 0，u = 1/2 或 u = −1。（2 分）sin x = 1/2 得 x = 30° 或 150°；sin x = −1 得 x = 270°。解为 30°、150° 及 270°。（2 分） |
| 6 | 在水平地面上，由 A 点测得塔顶的仰角为 30°。由 A 向塔走 40 m 到达 B 点，测得仰角为 60°。求塔高，准确至 0.1 m。 | 设塔高 h m，塔脚为 T。AT = h ÷ tan 30° = h√3，BT = h ÷ tan 60° = h ÷ √3。（2 分）AT − BT = 40，即 h(√3 − 1/√3) = 40，得 h = 20√3 ≈ 34.6 m。（2 分） |
乙部（Q7–Q9）：坐标几何
回答下列各题，须以坐标几何方法作答。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 7 | 已知 A(−2, 3) 及 B(4, −5)。(a) 求 AB 的长度。(b) 求 AB 中点的坐标。(c) 求直线 AB 的斜率。 | (a) AB = √[(4 + 2)² + (−5 − 3)²] = √(36 + 64) = 10。（2 分）(b) 中点 = ((−2 + 4) ÷ 2, (3 − 5) ÷ 2) = (1, −1)，斜率 = (−5 − 3) ÷ (4 + 2) = −4/3。（2 分） |
| 8 | 直线 L 的方程为 3x + 4y − 12 = 0。(a) 求 L 的 x 截距及 y 截距。(b) 求点 (2, 1) 与 L 的距离。 | (a) 令 y = 0 得 x = 4；令 x = 0 得 y = 3，故 x 截距为 4，y 截距为 3。（2 分）(b) 距离 = |3(2) + 4(1) − 12| ÷ √(3² + 4²) = 2 ÷ 5 = 0.4。（2 分） |
| 9 | 圆 C 的方程为 x² + y² − 6x + 8y − 11 = 0。(a) 求圆心及半径。(b) 判断点 (3, 2) 在圆内、圆上还是圆外。 | (a) x² − 6x + y² + 8y = 11，配方得 (x − 3)² + (y + 4)² = 11 + 9 + 16 = 36，圆心 (3, −4)，半径 6。（2 分）(b) 点 (3, 2) 与圆心的距离 = √(0² + 6²) = 6，等于半径，故点在圆上。（2 分） |
丙部（Q10–Q12）：综合应用
回答下列各题，须解释推论并列出步骤。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 10 | 直线 3x + 4y = 25 与圆 x² + y² = 25 有多少个交点？若只有一个交点，求该点的坐标。 | 圆心 (0, 0) 到直线 3x + 4y − 25 = 0 的距离 = 25 ÷ √(9 + 16) = 25 ÷ 5 = 5，等于半径，故直线与圆相切，只有一个交点。（3 分）切点为 (3, 4)：3(3) + 4(4) = 25 且 3² + 4² = 25，两式均成立。（2 分） |
| 11 | (a) 证明 (1 − cos²θ) ÷ (sin θ cos θ) = tan θ。(b) 已知 tan θ = 3/4 且 θ 为锐角，求 sin θ 及 cos θ。 | (a) 左边 = (1 − cos²θ) ÷ (sin θ cos θ) = sin²θ ÷ (sin θ cos θ) = sin θ ÷ cos θ = tan θ。（3 分）(b) 由 tan θ = 3/4 且 θ 为锐角，取对边 3、邻边 4、斜边 5，得 sin θ = 3/5，cos θ = 4/5。（2 分） |
| 12 | 两艘船同时由灯塔 O 出发，OA = 12 km，OB = 9 km，∠AOB = 120°。(a) 求 AB 的距离。(b) 求三角形 OAB 的面积，准确至 3 位有效数字。 | (a) AB² = 12² + 9² − 2 × 12 × 9 × cos 120° = 225 + 108 = 333，故 AB = √333 ≈ 18.2 km。（2 分）(b) 面积 = (1/2) × 12 × 9 × sin 120° = 54 × (√3 ÷ 2) ≈ 46.8 km²。（2 分） |
TutorZone 练习卷｜题目与文章为原创，并非任何学校或出版社的教材。
