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IGCSE 数学 0580 Paper 4（Extended 结构题）模拟卷（10 题・100 分）
练习卷 · IGCSE 数学
IGCSE 数学 0580 Paper 4（Extended）模拟卷：10 题、100 分、限时 2 小时 30 分钟，涵盖标准式、代数、比例、几何、三角、统计、概率、数列、二次函数与立体图形，附逐步答案与评分要点，适合 Year 10 至 Year 11 考生考前自测。
卷面资料 年级：Year 10–11（IGCSE） ｜ 科目：数学 ｜ 时限：150 分钟 ｜ 总分：100 分 ｜ 题数：10
全卷（100 分）— 第 1 至 10 题
全部题目均须作答。答案写在指定位置，并标明题号。计算题须列出计算步骤，并在适当时写出单位。除特别指明外，取 π ＝ 3.142。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | (a) 将 0.000472 写成标准式（a × 10n，1 ≤ a < 10）。〔1 分〕(b) 计算 (3.6 × 105) × (2.5 × 10-3)，答案以标准式表示。〔2 分〕(c) 一部汽车售价 $186,000，先加价 7.5%，其后再减价 4%。求最后售价。〔2 分〕(d) 将 45 分钟表示为 2 小时的几分之几（最简分数）。〔1 分〕(e) $4,500 以单利年利率 3.2% 存入银行 2.5 年，求所得的利息。〔2 分〕 | (a) 4.72 × 10-4。〔1 分〕(b) 3.6 × 2.5 ＝ 9.0，105 × 10-3 ＝ 102，故为 9.0 × 102（＝ 900）。〔2 分〕(c) 186,000 × 1.075 ＝ $199,950；199,950 × 0.96 ＝ $191,952。〔2 分〕(d) 45 ÷ 120 ＝ 3/8。〔1 分〕(e) 4500 × 3.2% × 2.5 ＝ $360。〔2 分〕 |
| 2 | (a) 展开 (2x − 3)(x + 5)。〔2 分〕(b) 因式分解 6x2 − 9x。〔2 分〕(c) 解方程 5(x − 3) ＝ 2x + 6。〔2 分〕(d) 已知 V ＝ (1/3)πr2h，以 V、h、π 表示 r。〔2 分〕(e) 解方程 x2 − 7x + 10 ＝ 0。〔2 分〕 | (a) 2x2 + 10x − 3x − 15 ＝ 2x2 + 7x − 15。〔2 分〕(b) 3x(2x − 3)。〔2 分〕(c) 5x − 15 ＝ 2x + 6 → 3x ＝ 21 → x ＝ 7。〔2 分〕(d) r2 ＝ 3V ÷ (πh)，故 r ＝ √(3V / (πh))（取正根）。〔2 分〕(e) (x − 2)(x − 5) ＝ 0，故 x ＝ 2 或 x ＝ 5。〔2 分〕 |
| 3 | 一个饼干食谱用 250 g 面粉、100 g 糖、150 g 牛油，可做 24 块饼干。(a) 求做 60 块饼干所需的面粉、糖及牛油的质量（g）。〔4 分〕(b) y 与 x2 成正比，当 x ＝ 4 时 y ＝ 48。求当 x ＝ 7 时 y 的值。〔2 分〕(c) 6 名工人需 8 日完成一项工程。若只有 4 名工人（工作速率相同），需多少日？〔2 分〕(d) 地图比例尺为 1 : 25,000，图上距离 6.4 cm。求实际距离（km）。〔2 分〕 | (a) 比例因子 ＝ 60 ÷ 24 ＝ 2.5；面粉 250 × 2.5 ＝ 625 g；糖 100 × 2.5 ＝ 250 g；牛油 150 × 2.5 ＝ 375 g。〔4 分〕(b) y ＝ kx2，48 ＝ 16k，k ＝ 3；当 x ＝ 7，y ＝ 3 × 49 ＝ 147。〔2 分〕(c) 工程总量 ＝ 6 × 8 ＝ 48 人日；4 人需 48 ÷ 4 ＝ 12 日。〔2 分〕(d) 6.4 × 25,000 ＝ 160,000 cm ＝ 1,600 m ＝ 1.6 km。〔2 分〕 |
| 4 | (a) 一个正多边形的外角为 24°。求它的边数及每个内角的大小。〔2 分〕(b) 三角形的三个角分别为 (2x + 10)°、(3x − 10)° 及 x°。求 x 及三个角。〔2 分〕(c) 圆心角 AOB 与同一弧上的圆周角 ACB：已知 ∠ACB ＝ 68°，求 ∠AOB。〔2 分〕(d) 圆内接四边形 ABCD 中 ∠A ＝ 115°，求 ∠C。〔1 分〕(e) 由 A 测得 B 的方位角为 118°。求由 B 测得 A 的方位角。〔3 分〕 | (a) 边数 ＝ 360 ÷ 24 ＝ 15；内角 ＝ 180 − 24 ＝ 156°。〔2 分〕(b) (2x + 10) + (3x − 10) + x ＝ 180 → 6x ＝ 180 → x ＝ 30；三角为 70°、80°、30°。〔2 分〕(c) 圆心角 ＝ 2 × 圆周角 ＝ 2 × 68 ＝ 136°。〔2 分〕(d) 圆内接四边形对角互补，∠C ＝ 180 − 115 ＝ 65°。〔1 分〕(e) 反方位角 ＝ 118 + 180 ＝ 298°。〔3 分〕 |
| 5 | (a) 直角三角形中斜边 13 cm、对边 5 cm。求该锐角 θ（1 位小数）。〔2 分〕(b) 一把 7.5 m 长的梯子与地面成 68°，求梯顶离地高度（3 位有效数字）。〔2 分〕(c) 一艘船先向东航行 12 km，再向北航行 9 km。求它与起点的距离及由起点测得的方位角。〔3 分〕(d) 三角形两边为 8 cm 及 11 cm，夹角 60°。求第三边（3 位有效数字）。〔3 分〕 | (a) sin θ ＝ 5 ÷ 13，θ ＝ 22.6°。〔2 分〕(b) 高度 ＝ 7.5 × sin 68° ＝ 6.95 m。〔2 分〕(c) 距离 ＝ √(122 + 92) ＝ √225 ＝ 15 km；方位角 ＝ tan-1(12 ÷ 9) ＝ 53.1° ≈ 053°。〔3 分〕(d) a2 ＝ 64 + 121 − 2 × 8 × 11 × cos 60° ＝ 185 − 88 ＝ 97，a ＝ 9.85 cm。〔3 分〕 |
| 6 | 十名学生每天阅读时间（分钟）为：12, 15, 11, 18, 15, 20, 14, 15, 17, 13。(a) 求平均数。〔2 分〕(b) 求中位数。〔1 分〕(c) 求众数及全距。〔2 分〕(d) 另一班 15 名学生的平均数为 18 分钟。求两班合共 25 名学生的平均数。〔3 分〕(e) 若要描述这批数据的“典型”阅读时间，平均数与中位数哪个较合适？简述理由。〔2 分〕 | (a) 总和 ＝ 150，平均数 ＝ 150 ÷ 10 ＝ 15 分钟。〔2 分〕(b) 排序后：11, 12, 13, 14, 15, 15, 15, 17, 18, 20；中位数 ＝ (15 + 15) ÷ 2 ＝ 15 分钟。〔1 分〕(c) 众数 ＝ 15 分钟；全距 ＝ 20 − 11 ＝ 9 分钟。〔2 分〕(d) 两班总和 ＝ 150 + 15 × 18 ＝ 150 + 270 ＝ 420；平均数 ＝ 420 ÷ 25 ＝ 16.8 分钟。〔3 分〕(e) 两者皆为 15 分钟，数据没有极端值，两者都合适；但众数（15 分钟，出现 3 次）亦可代表，一般以平均数最能利用全部数据。〔2 分〕 |
| 7 | 一个袋内有 5 个红球、3 个蓝球及 2 个绿球，随机抽出一个球。(a) 求抽出红球的概率。〔1 分〕(b) 抽出两个球（不放回），求两个都是红球的概率。〔2 分〕(c) 抽出两个球（不放回），求至少有一个红球的概率。〔3 分〕(d) 抽出一个球记录颜色后放回，再抽一个。求先蓝后绿的概率。〔2 分〕(e) 重复上述有放回抽球 200 次，期望抽出多少次红球？〔2 分〕 | (a) 5 ÷ 10 ＝ 1/2。〔1 分〕(b) 5/10 × 4/9 ＝ 20/90 ＝ 2/9。〔2 分〕(c) 两球皆非红 ＝ 5/10 × 4/9 ＝ 2/9；至少一红 ＝ 1 − 2/9 ＝ 7/9。〔3 分〕(d) 3/10 × 2/10 ＝ 6/100 ＝ 0.06。〔2 分〕(e) 200 × 1/2 ＝ 100 次。〔2 分〕 |
| 8 | (a) 求数列 7, 12, 17, 22, … 的第 n 项。〔2 分〕(b) 求该数列的第 10 项。〔1 分〕(c) 103 是否该数列的项？说明理由。〔2 分〕(d) 数列 2, 7, 14, 23, 34, … 的第二阶差为常数，求其第 n 项。〔3 分〕(e) 求数列 7, 12, 17, … 首 20 项之和。〔2 分〕 | (a) 公差 5、首项 7，故第 n 项 ＝ 5n + 2。〔2 分〕(b) 第 10 项 ＝ 5 × 10 + 2 ＝ 52。〔1 分〕(c) 5n + 2 ＝ 103 → n ＝ 20.2，并非整数，故 103 不是该数列的项。〔2 分〕(d) 第一阶差 5, 7, 9, 11；第二阶差恒为 2，设第 n 项 ＝ n2 + bn + c：n ＝ 1 得 1 + b + c ＝ 2，n ＝ 2 得 4 + 2b + c ＝ 7，解得 b ＝ 2、c ＝ −1，故第 n 项 ＝ n2 + 2n − 1（验证第 5 项 ＝ 34）。〔3 分〕(e) 首 20 项和 ＝ 20/2 × (2 × 7 + 19 × 5) ＝ 10 × 109 ＝ 1,090。〔2 分〕 |
| 9 | 已知 f(x) ＝ x2 − 4x + 3。(a) 以配方法写成 f(x) ＝ (x − h)2 + k，并写出图像的极小点。〔3 分〕(b) 解 f(x) ＝ 0。〔2 分〕(c) 求 f(−2)。〔1 分〕(d) 解 f(x) ＝ 8。〔3 分〕(e) 写出图像的对称轴及 y 截距。〔2 分〕 | (a) x2 − 4x + 3 ＝ (x − 2)2 − 4 + 3 ＝ (x − 2)2 − 1；极小点为 (2, −1)。〔3 分〕(b) (x − 1)(x − 3) ＝ 0，x ＝ 1 或 3。〔2 分〕(c) f(−2) ＝ 4 + 8 + 3 ＝ 15。〔1 分〕(d) x2 − 4x + 3 ＝ 8 → x2 − 4x − 5 ＝ 0 → (x − 5)(x + 1) ＝ 0，x ＝ 5 或 −1。〔3 分〕(e) 对称轴 x ＝ 2；y 截距 ＝ 3（即点 (0, 3)）。〔2 分〕 |
| 10 | 取 π ＝ 3.142。(a) 圆柱半径 7 cm、高 10 cm，求体积（cm3，3 位有效数字）。〔2 分〕(b) 圆锥半径 7 cm、高 24 cm：求斜高、体积及曲面面积。〔5 分〕(c) 半径 6 cm 的球：求表面积及体积（3 位有效数字）。〔2 分〕(d) 半径 6 cm 的实心半球，求其总表面积。〔2 分〕 | (a) V ＝ π × 72 × 10 ＝ 1539.58 ≈ 1,540 cm3。〔2 分〕(b) 斜高 l ＝ √(72 + 242) ＝ √625 ＝ 25 cm；V ＝ (1/3) × π × 49 × 24 ＝ 1231.66 ≈ 1,230 cm3；曲面面积 ＝ π × 7 × 25 ＝ 549.85 ≈ 550 cm2。〔5 分〕(c) 表面积 ＝ 4 × π × 62 ＝ 452.45 ≈ 452 cm2；体积 ＝ (4/3) × π × 63 ＝ 904.90 ≈ 905 cm3。〔2 分〕(d) 总表面积 ＝ 3 × π × 62 ＝ 339.34 ≈ 339 cm2（曲面 ＋ 平面圆）。〔2 分〕 |
TutorZone 练习卷｜题目与文章为原创，并非任何学校或出版社的教材。
