中四数学练习卷：二次方程与二次函数（12 题・100 分・75 分钟・附答案）｜原创模拟试题

练习卷 · DSE 数学：二次方程与二次函数全卷

本卷共 12 题、100 分、75 分钟，涵盖二次方程的因式分解与公式解法、判别式判断根的性质、配方法求顶点与极值，以及围栏、抛体与连续整数等应用题。每题附完整步骤与评分要点，适合中四学生于校内试前作全卷计时练习。

卷面资料　年级：中四（S4）　｜　科目：数学　｜　时限：75 分钟　｜　总分：100 分　｜　题数：12

考生须知：本卷分甲、乙、丙三部，全部题目均须作答，总分 100 分，时限 75 分钟。

计算题须列出算式与步骤，只写答案者不获步骤分；代入公式时须先写出所用公式，再代入数值。

除特别指明外，数值答案须准确至三位有效数字，并写出适当单位。

建议先用约 35 分钟完成甲部，再处理乙部图像题与丙部应用题，最后复核判别式与配方的符号。

甲部：二次方程与判别式

因式分解、公式法与根的性质

#	题目	答案与评分要点
1	解方程 x² − 7x + 12 = 0（用因式分解法），并写出两根之积。	（a）x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4)，故 x = 3 或 x = 4（6 分）。（b）两根之积 = 3 × 4 = 12（2 分）。
2	已知方程 kx² + 4x + 2 = 0 有两个相异实根，求 k 的取值范围。	（a）判别式 = 4² − 4(k)(2) = 16 − 8k（3 分）。（b）要有两个相异实根，判别式须大于 0，即 16 − 8k 大于 0，得 k 小于 2（4 分）。（c）二次项系数 k 不可为 0，故 k 小于 2 且 k ≠ 0（1 分）。
3	设 α、β 为方程 x² − 6x + 5 = 0 的两根，求 α² + β² 的值。	（a）α + β = 6（2 分）。（b）αβ = 5（2 分）。（c）α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 36 − 10 = 26（4 分）。
4	用二次公式解 2x² + 5x − 3 = 0，并写出两根之和。	（a）判别式 = 5² − 4(2)(−3) = 25 + 24 = 49（3 分）。（b）x = (−5 ± 7) / 4（3 分）。（c）x = 1/2 或 x = −3（2 分）。（d）两根之和 = −5/2（1 分）。

配方法、顶点与对称轴

#	题目	答案与评分要点
5	把 y = x² − 8x + 13 化成 y = (x − h)² + k 的形式，并写出顶点、对称轴及最小值。	（a）y = (x − 4)² − 3（4 分）。（b）顶点为 (4, −3)（2 分）。（c）对称轴为 x = 4（1 分）。（d）最小值为 −3（1 分）。
6	已知 y = −2x² + 12x − 13，求最大值及取得最大值时 x 的值。	（a）y = −2(x² − 6x) − 13 = −2(x − 3)² + 18 − 13 = −2(x − 3)² + 5（4 分）。（b）当 x = 3 时取得最大值（2 分）。（c）最大值为 5（2 分）。
7	若 y = x² + 2x + k 的图像与 x 轴只有一个交点，求 k；并说明当 k 小于 1 时图像与 x 轴的相交情况。	（a）判别式 = 4 − 4k = 0，得 k = 1（4 分）。（b）当 k 小于 1 时判别式大于 0，图像与 x 轴有两个交点（4 分）。
8	直线 y = mx + 1 与曲线 y = x² − 4x + 5 相交于两点，求 m 的取值范围。	（a）由 x² − 4x + 5 = mx + 1 得 x² − (4 + m)x + 4 = 0（3 分）。（b）判别式 = (4 + m)² − 16 须大于 0（3 分）。（c）即 m² + 8m 大于 0，得 m 大于 0 或 m 小于 −8（3 分）。

最大面积、抛体运动与数列应用

#	题目	答案与评分要点
9	用 40 m 的围栏围成一个长方形花圃，求最大面积。	（a）设阔为 x m，则长为 (20 − x) m（2 分）。（b）面积 A = x(20 − x) = −(x − 10)² + 100（4 分）。（c）当 x = 10 时面积最大，最大面积为 100 m²（2 分）。
10	一个球被抛出，t 秒后的高度为 h = −5t² + 20t（米）。求最大高度及球落地的时间。	（a）h = −5(t − 2)² + 20（3 分）。（b）当 t = 2 秒时高度最大，为 20 米（3 分）。（c）令 −5t² + 20t = 0，得 t(t − 4) = 0，t = 4 秒落地，t = 0 舍去（2 分）。
11	求以 2 + √3 及 2 − √3 为两根的二次方程。	（a）两根之和 = 4（3 分）。（b）两根之积 = 4 − 3 = 1（3 分）。（c）所求方程为 x² − 4x + 1 = 0（3 分）。
12	两个连续正整数之积为 156，求该两个整数。	（a）设两数为 n 及 n + 1，则 n(n + 1) = 156，即 n² + n − 156 = 0（3 分）。（b）判别式 = 1 + 624 = 625，其平方根为 25（3 分）。（c）(n − 12)(n + 13) = 0，得 n = 12，舍去 n = −13（2 分）。（d）两数为 12 及 13（1 分）。

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