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中四数学练习卷：三角比与应用（100 分）
练习卷 · 中四数学 · 三角比与应用
中四数学练习卷：6 题 22 部分、100 分、60 分钟。按香港中四数学课程编写，涵盖三角比定义、特殊角、仰角测量、余弦定理与三角形面积、方位角位移及三角方程，每题均附完整答案与逐步评分要点，适合中四校内测验、期考与公开试前操练。
卷面资料 年级：中四 ｜ 科目：数学 ｜ 时限：60 分钟 ｜ 总分：100 分 ｜ 题数：22
甲部 第 1 题：三角比定义与特殊角
全部答案须化简，并在需要时写出所用的三角比定义。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | （a）在一个直角三角形中，角 θ 的对边长 8 cm，斜边长 17 cm。求 sin θ 与 cos θ 的值。 | 答案：sin θ = 8/17，cos θ = 15/17。由毕氏定理，邻边为平方根(17² − 8²) = 15 cm，所以 cos θ = 15/17。评分：邻边 1 分，sin 1 分，cos 1 分，化简为分数 1 分。 |
| 2 | （b）不用计算机，求 sin 30° + cos 60° + tan 45° 的值。 | 答案：2。sin 30° = 1/2，cos 60° = 1/2，tan 45° = 1，合计 1/2 + 1/2 + 1 = 2。评分：三个特殊角各 1 分，合计 1 分。 |
| 3 | （c）已知 tan θ = 3/4 且 θ 为锐角，求 sin θ 与 cos θ 的值。 | 答案：sin θ = 3/5，cos θ = 4/5。因 tan θ = 对边 / 邻边，取对边 3、邻边 4，斜边为 5，故 sin θ = 3/5，cos θ = 4/5。评分：斜边 1 分，两个比值各 1 分，说明 θ 为锐角故取正值 1 分。 |
| 4 | （d）求 sin² 35° + cos² 35° + tan 45° 的值。 | 答案：2。同一个锐角的平方和 sin² θ + cos² θ 恒等于 1，而 tan 45° = 1，总和为 2。评分：平方和恒等式 2 分，tan 45° 1 分，合计 1 分。 |
甲部 第 2 题：仰角与实际测量
在平地上的一点 A 测得一座垂直塔顶的仰角为 28°，A 与塔底的水平距离为 60 m。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 5 | （a）求塔高，答案取一位小数。 | 答案：约 31.9 m。tan 28° = 塔高 / 60，所以塔高 = 60 tan 28° = 31.9 m。评分：正确三角比 1 分，代入 1 分，数值 1 分，取一位小数 1 分。 |
| 6 | （b）求由 A 到塔顶的视线距离，答案取一位小数。 | 答案：约 68.0 m。cos 28° = 60 / 视线距离，所以视线距离 = 60 / cos 28° = 68.0 m。评分：余弦关系 2 分，数值 1 分，单位 1 分。 |
| 7 | （c）若改在塔底正前方 40 m 的 B 点观察，求塔顶的仰角，答案取一位小数。 | 答案：约 38.6°。tan θ = 31.9 / 40，θ = 38.6°。评分：算式 2 分，数值 1 分，取一位小数 1 分。 |
| 8 | （d）比较在 A 与 B 两点所测得的仰角，并解释原因。 | 答案：在 B 测得的仰角较大。塔高不变而水平距离由 60 m 减至 40 m，tan θ 为塔高除以水平距离，分母缩小令比值变大，故仰角上升。评分：指出 B 较大 2 分，连结 tan θ 与水平距离 2 分。 |
甲部 第 3 题：余弦定理与三角形面积
在三角形 ABC 中，BC = 7 cm，AC = 9 cm，角 C = 42°。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 9 | （a）求 AB 的长度，答案取两位小数。 | 答案：约 6.03 cm。由余弦定理，AB² = 7² + 9² − 2 × 7 × 9 × cos 42° = 130 − 93.64 = 36.36，故 AB = 6.03 cm。评分：正确公式 2 分，代入与计算 1 分，数值 1 分。 |
| 10 | （b）求三角形 ABC 的面积，答案取一位小数。 | 答案：约 21.1 cm²。面积 = 1/2 × 7 × 9 × sin 42° = 21.1 cm²。评分：公式 2 分，数值 1 分，单位 1 分。 |
| 11 | （c）求角 A，答案取一位小数。 | 答案：约 51.0°。由正弦公式，sin A / 7 = sin 42° / 6.03，故 sin A = 0.7767，A = 51.0°。评分：正弦公式 2 分，代入 1 分，数值 1 分。 |
| 12 | （d）由此求角 B，并验算三角形内角和。 | 答案：B ≈ 87.0°。180° − 42° − 51.0° = 87.0°，三者相加为 180°，验算成立。评分：角 B 数值 2 分，内角和验算 2 分。 |
甲部 第 4 题：方位角与位移
一艘船由港口 P 出发，先沿方位角 060° 航行 12 km，再沿方位角 150° 航行 9 km。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 13 | （a）求船与港口 P 的直线距离，答案取一位小数。 | 答案：约 15.0 km。两段位移分解为东西与南北分量：(10.39, 6.00) 加 (4.50, −7.79) = (14.89, −1.79)，距离 = 平方根(14.89² + 1.79²) = 15.0 km。评分：分量 2 分，平方和 1 分，数值 1 分。 |
| 14 | （b）求船最终位置相对港口 P 的方位角，取最接近的度数。 | 答案：约 097°。tan θ = 14.89 / 1.79，东西分量为正、南北分量为负，故方位角为 097°。评分：正切关系 1 分，象限判断 2 分，度数 1 分。 |
| 15 | （c）船实际航行了 21 km，但与港口的距离只有约 15 km。解释两者为何不同。 | 答案：21 km 是路径长度，15 km 是位移大小。两段航程方向不同，第二段部分抵消了第一段的位移，故直线距离短于航行总长。评分：区分路径与位移 2 分，指出方向不同 1 分，抵消概念 1 分。 |
| 16 | （d）若第二段改为沿方位角 240° 航行 9 km，求最终位置与 P 的距离，取一位小数。 | 答案：约 3.0 km。新分量为 (−7.79, −4.50)，合位移为 (2.60, 1.50)，距离 = 平方根(2.60² + 1.50²) = 3.0 km。评分：分量 2 分，合位移 1 分，数值 1 分。 |
乙部 第 5 题：三角方程
本题所有角度以度为单位，解的范围为 0° 至 360°（包括两端）。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 17 | （a）解方程 2 sin² x − sin x − 1 = 0，先求 sin x 的可能值。 | 答案：sin x = 1 或 sin x = −1/2。把方程分解为 (2 sin x + 1)(sin x − 1) = 0，故 sin x = −1/2 或 1。评分：分解 3 分，两个值各 1 分，说明以 sin x 为未知数 1 分。 |
| 18 | （b）由此求方程在指定范围内的所有解。 | 答案：x = 90°、210°、330°。sin x = 1 给出 90°；sin x = −1/2 在第三、四象限给出 210° 与 330°。评分：90° 1 分，210° 2 分，330° 2 分，答案齐全并排序 1 分。 |
| 19 | （c）解方程 cos 2x = 0.5，其中 0° 至 360°。 | 答案：x = 30°、150°、210°、330°。2x 在 0° 至 720° 内取值 60°、300°、420°、660°，各除以 2。评分：2x 的四个值 3 分，除以 2 得解 3 分。 |
乙部 第 6 题：三角恒等式与应用
本题须写出完整推导步骤，不可只写结果。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 20 | （a）证明对于 sin θ 不等于 0 的角 θ，(1 − cos² θ) / sin θ = sin θ。 | 答案：(1 − cos² θ) / sin θ = sin² θ / sin θ = sin θ，用了平方和恒等式 sin² θ + cos² θ = 1。评分：恒等式 2 分，因式分解 2 分，约去 sin θ 并注明 sin θ 不等于 0 得 2 分。 |
| 21 | （b）由此解方程 (1 − cos² x) / sin x = 0.5，其中 0° 至 360°。 | 答案：x = 30°、150°。由（a）得 sin x = 0.5，在第一、二象限给出 30° 与 150°。评分：化为 sin x = 0.5 得 2 分，两个解各 2 分。 |
| 22 | （c）说明为何 x = 0°、180°、360° 不可能是（b）的解。 | 答案：这三个角的正弦值为 0，令分母 sin x 为 0，原式无定义，所以不能代入；0.5 亦不等于无定义的量。评分：指出 sin 值为 0 得 2 分，分母为 0 无定义得 2 分，结论清楚得 2 分。 |
TutorZone 练习卷｜题目与文章为原创，并非任何学校或出版社的教材。