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中四数学练习卷：三角学、指数与对数、概率（12 题・100 分・75 分钟）
练习卷 · 中四数学・12 题・100 分・75 分钟
中四数学练习卷：12 题、100 分、75 分钟。题型涵盖方位角与余弦定理、三角方程、长方体的对角线与倾角、指数律与对数方程、指数增长、声强级、古典概率、条件概率与计数原理，以及平均数、中位数与标准差，每题附完整步骤及评分要点。
卷面资料 年级：中四（S4） ｜ 科目：数学 ｜ 时限：75 分钟 ｜ 总分：100 分 ｜ 题数：12
甲部：三角学
全部小题均须作答，计算题须列出步骤及单位。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | 某船由 A 点出发，先以方位角 065° 航行 12 km 到达 B 点，然后转向方位角 155° 航行 9 km 到达 C 点。 (a) 求 A 至 C 的距离。 (b) 求 C 点相对 A 点的方位角（准确至最接近的度）。 (c) 若船由 C 点以 9 km/h 直接返回 A 点，需时多少小时多少分钟？ |
(a) 两段航线的方位角相差 155° − 65° = 90°，故 B 点为直角。AC² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225，AC = 15 km。 (b) 在 A 点，AB 与 AC 的夹角 θ 满足 tan θ = 9 ÷ 12 = 0.75，θ ≈ 36.9°。故 C 的方位角 = 65° + 36.9° ≈ 102°。 (c) 时间 = 15 ÷ 9 = 1.667 小时 = 1 小时 40 分钟。 |
| 2 | 在三角形 ABC 中，AB = 8 cm，BC = 11 cm，∠ABC = 118°。 (a) 求 AC 的长度（准确至 0.1 cm）。 (b) 求 ∠BAC（准确至 0.1°）。 (c) 求三角形 ABC 的面积（准确至 0.1 cm²）。 |
(a) 由余弦定理，AC² = 8² + 11² − 2 × 8 × 11 × cos 118° = 185 + 82.6 = 267.6，故 AC = 16.4 cm。 (b) 由正弦定理，sin ∠BAC ÷ 11 = sin 118° ÷ 16.36，得 sin ∠BAC = 0.594，故 ∠BAC = 36.4°。 (c) 面积 = ½ × 8 × 11 × sin 118° = 38.8 cm²。 |
| 3 | 考虑方程 2 sin²x + sin x − 1 = 0。 (a) 把方程的左边分解为两个一次因式。 (b) 求 0° ≤ x ≤ 360° 内的所有解。 (c) 求同一方程在 0° ≤ x ≤ 720° 内的所有解，并写出解的数目。 |
(a) 设 u = sin x，则 2u² + u − 1 = (2u − 1)(u + 1)，故方程可写成 (2 sin x − 1)(sin x + 1) = 0。 (b) 2 sin x − 1 = 0 给出 sin x = 0.5，即 x = 30° 或 150°；sin x + 1 = 0 给出 sin x = −1，即 x = 270°。 (c) 把每个解加 360°，得 30°、150°、270°、390°、510°、630°，共 6 个解。 |
| 4 | 长方体 ABCDEFGH 的长、阔、高分别为 8 cm、6 cm 及 5 cm，其中 ABCD 为底面，CG 为其中一条侧棱。 (a) 求底面对角线 AC 的长度。 (b) 求空间对角线 AG 的长度（准确至 0.1 cm）。 (c) 求 AG 与底面 ABCD 的夹角（准确至 0.1°），并说明所用的三角形。 |
(a) AC² = 8² + 6² = 100，故 AC = 10 cm。 (b) CG 垂直于底面，故三角形 ACG 在 C 点成直角：AG² = AC² + CG² = 100 + 25 = 125，AG = 11.2 cm。 (c) 在直角三角形 ACG 中，tan θ = CG ÷ AC = 5 ÷ 10 = 0.5，故 θ = 26.6°。 |
乙部：指数与对数
全部小题均须作答，数值答案须准确至指定小数位。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 5 | (a) 不用计算机，求 8^(2/3)、16^(−3/4) 及 27^(2/3) 的值。 (b) 解方程 3^(2x − 1) = 27^(x − 2)。 (c) 化简 (a³b⁻²)² ÷ (a⁻¹b³)，并以正指数表示答案。 |
(a) 8^(2/3) = (∛8)² = 4；16^(−3/4) = 1 ÷ 16^(3/4) = 1 ÷ 8 = 0.125；27^(2/3) = (∛27)² = 9。 (b) 因为 27 = 3³，所以 27^(x − 2) = 3^(3x − 6)。比较指数得 2x − 1 = 3x − 6，故 x = 5。 (c) 分子 = a⁶b⁻⁴；除以 a⁻¹b³ 得 a^(6+1)b^(−4−3) = a⁷b⁻⁷ = a⁷ ÷ b⁷。 |
| 6 | (a) 求 log₃ 54 − log₃ 2 的值。 (b) 解方程 log₂(x + 3) + log₂(x − 3) = 4。 (c) 说明 (b) 中另一个代数根为何不被接纳。 |
(a) log₃ 54 − log₃ 2 = log₃(54 ÷ 2) = log₃ 27 = 3，因为 3³ = 27。 (b) 合并对数得 log₂((x + 3)(x − 3)) = 4，即 x² − 9 = 2⁴ = 16，故 x² = 25，x = 5 或 x = −5。 (c) 对数的真数必须为正数，故 x + 3 与 x − 3 均须大于零；x = −5 使 x + 3 为负，因此舍去，唯一解为 x = 5。 |
| 7 | 某培养皿的细菌数目 N 随时间 t（小时）按公式 N = 500 × 2^(t/3) 增长。 (a) 求开始 18 小时后的细菌数目。 (b) 求细菌数目首次达到 100 000 所需的时间（准确至 0.1 小时）。 (c) 求细菌数目首次超过 1 000 000 的整数小时，并解释为何取整数。 |
(a) N = 500 × 2^(18 ÷ 3) = 500 × 2⁶ = 32000。 (b) 需 500 × 2^(t/3) = 100 000，即 2^(t/3) = 200。取对数得 t = 3 × log 200 ÷ log 2 = 22.9 小时。 (c) 需 2^(t/3) = 2000，t = 3 × log 2000 ÷ log 2 = 32.9 小时；细菌数目只在整点统计，故首次超过 1 000 000 为第 33 小时。 |
| 8 | 声音的声强级 L（分贝）与声强 I（W m⁻²）的换算公式为 L = 10 log₁₀(I ÷ I₀)，其中 I₀ 为参考声强。 (a) 求 75 dB 与 60 dB 两个声响的声强之比。 (b) 某机器单独运作时声强级为 60 dB。若同时开动同款机器，需要多少部才达到 75 dB？ (c) 说明声强级增加 3 dB 代表声强增加多少倍。 |
(a) 两者的分贝差为 15，故 I₂ ÷ I₁ = 10^(15 ÷ 10) = 10^1.5 = 31.6，即约 32 倍。 (b) 同款机器的声强相同，故需约 32 部（实际上取 32 部）才达到 75 dB。 (c) 10 log₁₀ 2 = 3.0，故声强加倍时声强级增加约 3 dB；反过来，增加 3 dB 即声强约增加 2 倍。 |
丙部：概率与统计
全部小题均须作答，解释题须引用公式或原理。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 9 | 袋中有 5 个红球及 3 个蓝球，共 8 个球。随机抽出 2 个球，每次抽出后不放回。 (a) 求两个球皆为红色的概率。 (b) 求恰有一个红球的概率。 (c) 求至少有一个蓝球的概率，并以 (a) 的结果解释。 |
(a) P(红, 红) = (5 ÷ 8) × (4 ÷ 7) = 20 ÷ 56 = 5 ÷ 14 ≈ 0.357。 (b) 红蓝与蓝红两种次序：P = 2 × (5 ÷ 8) × (3 ÷ 7) = 30 ÷ 56 = 15 ÷ 28 ≈ 0.536。 (c) “至少一个蓝球”是“两个皆红”的余事件，故 P = 1 − 5 ÷ 14 = 9 ÷ 14 ≈ 0.643。 |
| 10 | 某校 120 名学生中，72 人喜欢数学，45 人喜欢物理，30 人同时喜欢这两科。现随机选出一名学生。 (a) 求该学生喜欢数学的概率。 (b) 已知该学生喜欢数学，求他喜欢物理的概率。 (c) 判断“喜欢数学”与“喜欢物理”是否独立事件，并以计算说明。 |
(a) P(数学) = 72 ÷ 120 = 0.6。 (b) P(物理 | 数学) = 30 ÷ 72 = 5 ÷ 12 ≈ 0.417。 (c) P(数学) × P(物理) = 0.6 × 0.375 = 0.225，而 P(两科) = 30 ÷ 120 = 0.25；两者不相等，故两事件不独立（喜欢数学的学生较倾向喜欢物理）。 |
| 11 | 某班有 5 名男生及 4 名女生，共 9 人。 (a) 由 9 人中选出 3 人组成委员会，共有多少种选法？ (b) 若委员会的 3 人中至少要有 1 名女生，共有多少种选法？ (c) 若由 9 人中选出 4 人，其中恰有 2 名女生，共有多少种选法？ |
(a) C(9, 3) = 84。 (b) 用全部选法减去全为男生的选法：84 − C(5, 3) = 84 − 10 = 74。 (c) 先选 2 名女生再选 2 名男生：C(4, 2) × C(5, 2) = 6 × 10 = 60。 |
| 12 | 某组九名学生的测验分数为 10、12、14、16、18、20、22、24、26。 (a) 求平均数及中位数。 (b) 求标准差，以 n 为分母（准确至 0.01）。 (c) 若加入一名得 28 分的学生，求新数据的平均数及标准差（准确至 0.01），并比较两者的分散程度。 |
(a) 总和 = 162，平均数 = 162 ÷ 9 = 18；中位数（第 5 个数据）= 18。 (b) 离差平方和 = 240.0，方差 = 240.0 ÷ 9 = 26.67，标准差 = 5.16。 (c) 新总和 = 190，平均数 = 19；平方和由 3156 增至 3940，方差 = 3940 ÷ 10 − 19² = 33，标准差 = 5.74，分散程度略增。 |
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