中四数学练习卷：二次方程与函数

解二次方程 2x² − 7x + 3 = 0。

(a) 以十字相乘法把左边因式分解。（3 分）
(b) 由此求方程的两个根。（2 分）
(c) 验证两根之和与两根之积是否等于 −b/a 与 c/a。（2 分）

(a) 2x² − 7x + 3 = (2x − 1)(x − 3)。找两个数相乘为 2 × 3 = 6、相加为 −7，即 −1 与 −6，分拆中间项后分组得 (2x − 1)(x − 3)。（3 分）
(b) 2x − 1 = 0 或 x − 3 = 0，故 x = 0.5 或 x = 3。（2 分）
(c) 两根之和 = 0.5 + 3 = 3.5 = −b/a = 7/2；两根之积 = 0.5 × 3 = 1.5 = c/a = 3/2，两者都符合。（2 分）

某二次方程的两个根为 4 与 −3。

(a) 求两根之和与两根之积。（3 分）
(b) 由此写出该二次方程（以 x² 系数为 1 表示）。（2 分）
(c) 若两根记为 α 与 β，求 α² + β²。（2 分）

(a) 两根之和 = 4 + (−3) = 1；两根之积 = 4 × (−3) = -12。（3 分）
(b) 方程为 x² − (和)x + (积) = 0，即 x² − x − 12 = 0。（2 分）
(c) α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 1² − 2(-12) = 1 + 24 = 25。（2 分）

已知二次方程 x² + kx + 9 = 0 有重根（两个相等的根）。

(a) 求 k 的所有可能值。（3 分）
(b) 当 k = −6 时，求该重根。（2 分）
(c) 当 k = 6 时，求该重根，并说明两个情况的图像分别与 x 轴有多少个交点。（2 分）

(a) 重根即判别式为零：k² − 4(1)(9) = 0，k² = 36，故 k = 6 或 k = -6。（3 分）
(b) k = −6 时方程为 x² − 6x + 9 = 0，即 (x − 3)² = 0，重根 x = 3。（2 分）
(c) k = 6 时方程为 x² + 6x + 9 = 0，即 (x + 3)² = 0，重根 x = -3。两种情况判别式均为零，图像都只与 x 轴有 一个 交点（相切）。（2 分）

考虑二次函数 y = x² + 8x + 5。

(a) 以配方法把函数写成 y = (x + h)² + k 的形式。（3 分）
(b) 由此写出顶点坐标及最小值。（2 分）
(c) 解方程 x² + 8x + 5 = 0，答案准确至三位有效数字。（2 分）

(a) x² + 8x + 5 = (x + 4)² − 16 + 5 = (x + 4)² − 11。（3 分）
(b) 顶点为 (-4, -11)，因 (x + 4)² ≥ 0，最小值为 -11。（2 分）
(c) (x + 4)² = 11，x + 4 = ±√11，故 x = -0.683 或 x = -7.317。（2 分）

两个数之和为 14，积为 45。

(a) 设其中一个数为 x，列出一个以 x 为未知数的一元二次方程。（3 分）
(b) 解该方程，求出这两个数。（3 分）
(c) 若两数之和仍为 14，但积改为 60，方程是否有实根？试用判别式解释。（2 分）

(a) 另一数为 14 − x，由积为 45 得 x(14 − x) = 45，即 x² − 14x + 45 = 0。（3 分）
(b) 判别式 = 196 − 180 = 16，x = (14 ± 4) / 2，得 x = 9 或 5。故两数为 5 与 9。（3 分）
(c) 新方程为 x² − 14x + 60 = 0，判别式 = 196 − 240 = −44 < 0，没有实根，即在两数之和固定为 14 时，积不可能达到 60（最大积为 7 × 7 = 49）。（2 分）

考虑函数 y = x² − 4x + 1 的图像。

(a) 以配方法写出函数的顶点式。（2 分）
(b) 写出顶点坐标、对称轴及函数的最小值。（2 分）
(c) 求图像的 y 轴截距。（2 分）
(d) 求图像的 x 轴截距，答案准确至三位有效数字。（2 分）

(a) y = x² − 4x + 1 = (x − 2)² − 4 + 1 = (x − 2)² − 3。（2 分）
(b) 顶点 (2, -3)，对称轴 x = 2，最小值 -3。（2 分）
(c) 令 x = 0，y = 1，故 y 轴截距为 1。（2 分）
(d) (x − 2)² = 3，x = 2 ± √3，故 x 轴截距为 3.732 与 0.268。（2 分）

设 α 与 β 为二次方程 x² − 3x − 5 = 0 的两个根。

(a) 不求方程的根，写出 α + β 与 αβ 的值。（3 分）
(b) 由此求 α² + β² 的值。（3 分）
(c) 求 1/α + 1/β 的值。（2 分）

(a) 由根与系数之关联：α + β = 3，αβ = -5。（3 分）
(b) α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 3² − 2(-5) = 9 + 10 = 19。（3 分）
(c) 1/α + 1/β = (α + β) / (αβ) = 3 / (-5) = -0.6。（2 分）

解下列二次不等式，并以不等式或区间形式表示答案。

(a) x² − 5x + 6 < 0（4 分）
(b) x² − 2x − 8 ≥ 0（4 分）

(a) x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)，根为 2 与 3。抛物线开口向上，小于零的范围在两根之间，故解为 2 < x < 3（即 (2, 3)）。（4 分）
(b) x² − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2)，根为 4 与 −2。开口向上，大于或等于零的范围在两根之外，故解为 x ≤ −2 或 x ≥ 4。（4 分）

一个长方形花园的周界为 40 m，面积为 96 m²。

(a) 设长方形的阔为 w m，列出方程并求花园的长与阔。（4 分）
(b) 若周界保持 40 m 不变，求花园可能的最大面积。（3 分）
(c) 利用配方或图像解释为何最大面积在正方形时出现。（3 分）

(a) 长 + 阔 = 20，故长 = (20 − w) m。w(20 − w) = 96，即 w² − 20w + 96 = 0。判别式 = 400 − 384 = 16，w = (20 ± 4) / 2 = 8 或 12。故花园为 8 m × 12 m。（4 分）
(b) 设阔为 w，面积 A = w(20 − w) = −(w − 10)² + 100，故最大面积为 100 m²。（3 分）
(c) 配方后 A = 100 − (w − 10)²，因为 (w − 10)² ≥ 0，A 只在 w = 10 时最大，此时长 = 阔 = 10 m，即正方形，所以周界固定时正方形面积最大。（3 分）

某小店每月售出 x 件货品，每月利润 P（以百元为单位）满足 P = −2x² + 40x − 150，其中 x 为正整数。

(a) 求收支平衡（P = 0）时的 x 值。（3 分）
(b) 求每月最大利润及对应的销量。（3 分）
(c) 若小店每月最多只能售出 8 件，求此时的最大利润，并解释为何不能达到 (b) 的答案。（4 分）

(a) 令 P = 0：−2x² + 40x − 150 = 0，两边除以 −2 得 x² − 20x + 75 = 0，即 (x − 5)(x − 15) = 0，故 x = 15 或 x = 5。（3 分）
(b) 配方：P = −2(x² − 20x) − 150 = −2[(x − 10)² − 100] − 150 = −2(x − 10)² + 50。故 x = 10 时利润最大，为 50 百元（即 $5000）。（3 分）
(c) 限制 x ≤ 8 位于顶点的左方，函数在此区间递增，故最大利润在 x = 8：P(8) = −2(64) + 320 − 150 = 42 百元（即 $4200），未能达到 x = 10 的 50 百元，因为每月最多只可售 8 件。（4 分）

曲线 y = x² + (k − 2)x + 9 与 x 轴相切（只有一个交点）。

(a) 求 k 的所有可能值。（4 分）
(b) 当 k = 8 时，求切点坐标。（3 分）
(c) 当 k = −4 时，求切点坐标，并比较两条曲线的对称轴。（3 分）

(a) 相切即判别式为零：(k − 2)² − 4(1)(9) = 0，(k − 2)² = 36，k − 2 = ±6，故 k = 8 或 k = -4。（4 分）
(b) k = 8 时 y = x² + 6x + 9 = (x + 3)²，切点为 (-3, 0)。（3 分）
(c) k = −4 时 y = x² − 6x + 9 = (x − 3)²，切点为 (3, 0)。两条曲线的对称轴分别为 x = -3 与 x = 3，互相对称于 y 轴两侧。（3 分）

解联立方程 y = x² − 2x 与 y = 2x − 3。

(a) 以代入法解方程，求 x 的值。（4 分）
(b) 求两图形的交点坐标。（3 分）
(c) 由此说明直线 y = 2x − 3 与抛物线 y = x² − 2x 的几何意义。（3 分）

(a) 代入得 x² − 2x = 2x − 3，即 x² − 4x + 3 = 0，(x − 1)(x − 3) = 0，故 x = 1 或 x = 3。（4 分）
(b) x = 1 时 y = -1；x = 3 时 y = 3。交点为 (1, -1) 与 (3, 3)。（3 分）
(c) 联立方程有两个相异实根，表示直线与抛物线相交于 两点，该直线是抛物线的一条割线（弦），而不是切线。（3 分）