中四数学练习卷：二次方程、函数图像与应用（12 题・100 分）

解下列二次方程，须展示步骤。

(a) x² – 7x + 12 = 0

(b) 2x² + 5x – 3 = 0

(a) (x – 3)(x – 4) = 0，故 x = 3 或 x = 4。

(b) (2x – 1)(x + 3) = 0，故 x = 1/2 或 x = -3。

评分要点：正确因式分解各得 1 分，写出两个根各得 1 分。

已知二次方程 x² + kx + 9 = 0，其中 k 为常数。

(a) 若方程有重根（两个相等实根），求 k 的所有可能值。

(b) 若 k = -10，求方程的根，并判断根的性质。

(a) 重根须判别式为 0：k² – 36 = 0，故 k = 6 或 k = -6。

(b) k = -10 时方程为 x² – 10x + 9 = 0，判别式 = 100 – 36 = 64 > 0，故有两个相异实根；(x – 1)(x – 9) = 0，x = 1 或 x = 9。

评分要点：判别式条件 2 分，两个 k 值 2 分，判别式计算 2 分，根 2 分。

以配方法把 y = x² – 6x + 5 写成 y = (x – h)² + k 的形式，并写出图像的顶点、对称轴及最小值。

y = x² – 6x + 5 = (x² – 6x + 9) – 9 + 5 = (x – 3)² – 4。

顶点为 (3, -4)，对称轴为 x = 3，最小值为 -4。

评分要点：配方过程 4 分，顶点 2 分，对称轴 1 分，最小值 2 分。

设 α、β 为方程 3x² – 7x + 2 = 0 的两个根。

(a) 求 α + β 及 αβ。

(b) 求 1/α + 1/β 的值。

(c) 由此求 α 及 β 的值。

(a) α + β = 7/3，αβ = 2/3。

(b) 1/α + 1/β = (α + β)/(αβ) = (7/3) ÷ (2/3) = 7/2。

(c) 3x² – 7x + 2 = (3x – 1)(x – 2)，故 α、β 为 1/3 及 2（顺序不限）。

评分要点：和与积各 1 分，通分后代值 2 分，因式分解与根 4 分。

一个球从离地 1 m 处以 20 m/s 向上抛出，其离地高度 h（米）与时间 t（秒）的关系为 h = -5t² + 20t + 1。

(a) 求球到达最高点所需的时间及最高高度。

(b) 求球着地所需的时间（取 3 位有效数字）。

(a) h = -5(t – 2)² + 21，故 t = 2 s 时达最高点，最高高度为 21 m。

(b) 令 h = 0：-5t² + 20t + 1 = 0，t = [20 + √(400 + 20)]/10 = (20 + √420)/10 ≈ 4.05 s（舍去负值）。

评分要点：配方或顶点公式 3 分，最高高度 1 分，设 h = 0 并解方程 4 分，取正根及单位 1 分。

解下列二次不等式。

(a) x² – 5x + 6 < 0

(b) x² – 2x – 8 ≥ 0

(a) x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) < 0，故 2 < x < 3。

(b) x² – 2x – 8 = (x – 4)(x + 2) ≥ 0，故 x ≤ -2 或 x ≥ 4。

评分要点：每题因式分解 1 分、答案 3 分；用区间表示同样接受。

考虑函数 y = 2x² – 8x + 3。

(a) 求图像的对称轴及顶点。

(b) 写出函数的最小值及值域。

(c) 描述图像由 y = 2x² 经什么变换得到。

(a) y = 2(x² – 4x) + 3 = 2(x – 2)² – 5，对称轴 x = 2，顶点 (2, -5)。

(b) 因 a = 2 > 0，最小值为 -5，值域为 y ≥ -5。

(c) 把 y = 2x² 的图像向右平移 2 单位、向下平移 5 单位。

评分要点：配方 3 分，对称轴与顶点 2 分，最小值与值域 2 分，变换描述 1 分。

某商店售卖一款文具，售价为 $(80 – x)，每月可售出 (20 + 2x) 件，其中 0 ≤ x ≤ 60。

(a) 证明每月收入 R（元）可表示为 R = -2x² + 140x + 1600。

(b) 求 x 的值使收入最大，并求最大收入。

(a) R = (80 – x)(20 + 2x) = 1600 + 160x – 20x – 2x² = -2x² + 140x + 1600。

(b) R = -2(x – 35)² + 4050，故 x = 35 时收入最大，最大收入为 $4050。

评分要点：展开 3 分，配方 3 分，x 值 2 分，最大收入 1 分。

解联立方程 y = x² – 2x 及 y = x + 4。

由两式得 x² – 2x = x + 4，即 x² – 3x – 4 = 0，(x – 4)(x + 1) = 0，x = 4 或 x = -1。

当 x = 4，y = 8；当 x = -1，y = 3。解为 (4, 8) 及 (-1, 3)。

评分要点：消 y 得二次方程 3 分，因式分解 2 分，两组解各 1 分，对应 y 值 2 分。

已知某二次方程的两个根为 2 + √3 及 2 – √3。

(a) 求两根之和与两根之积。

(b) 由此求该二次方程（x² 的系数为 1）。

(c) 求该方程的判别式，并解释其结果。

(a) 和 = (2 + √3) + (2 – √3) = 4；积 = (2 + √3)(2 – √3) = 4 – 3 = 1。

(b) 方程为 x² – 4x + 1 = 0。

(c) 判别式 = 16 – 4 = 12 > 0，故有两个相异实根，与题设相符。

评分要点：和、积各 1 分，方程 4 分，判别式及解释 2 分。

解方程 x⁴ – 5x² + 4 = 0。

设 u = x²，则 u² – 5u + 4 = 0，(u – 1)(u – 4) = 0，u = 1 或 u = 4。

当 x² = 1，x = 1 或 x = -1；当 x² = 4，x = 2 或 x = -2。故 x = ±1 或 x = ±2。

评分要点：换元 2 分，解 u 2 分，四根各 1 分。

用 40 m 的围栏围出一个矩形花圃，其中一边靠着墙，该边不需围栏。

(a) 设垂直于墙的边长为 x m，以 x 表示花圃面积 A（m²）。

(b) 求 A 的最大值及对应的尺寸。

(a) 垂直于墙的两边各长 x m，平行于墙的一边长 (40 – 2x) m，故 A = x(40 – 2x) = -2x² + 40x（0 < x < 20）。

(b) A = -2(x – 10)² + 200，故 x = 10 时 A 最大为 200 m²，尺寸为 10 m × 20 m。

评分要点：列出 A 的表达式 3 分，配方 3 分，x 值 2 分，最大面积及尺寸 1 分。