中四数学练习卷：统计数据与概率（12 题・100 分・75 分钟）

2026-11-09

练习卷 · DSE 数学：统计数据与概率全卷

本卷共 12 题、100 分、75 分钟，涵盖频数分布表的整理、平均数与中位数的计算、插值法估计中位数、五数概括与盒须图、离群值判断、方差与标准差、标准分比较、数据增删对平均数与标准差的影响，以及古典概率、互斥事件、条件概率与期望值，每题附完整算式与评分要点。

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卷面资料　年级：中四（S4）　｜　科目：数学　｜　时限：75 分钟　｜　总分：100 分　｜　题数：12

考生须知：本卷分甲、乙、丙三部，全部题目均须作答，总分 100 分，时限 75 分钟。

计算题须列出算式与步骤，只写答案者不获步骤分；代入公式时须先写出所用公式，再代入数值。

除特别指明外，数值答案须准确至三位有效数字，并写出适当单位。

建议先用约 30 分钟完成甲部统计数据的整理与集中趋势计算，再处理乙部离差与标准差，最后复核丙部概率与期望值。

甲部　统计数据的整理与集中趋势

甲部：计算题须列出算式与步骤，求中位数时须说明所用的数据位置。

#	题目	答案与评分要点
1	某组数据如下：12、15、15、18、20、22、22、22、27、27。（a）求该组数据的平均数；（b）求中位数；（c）求众数；（d）指出三个集中趋势量度中，哪一个最不受极端值影响，并略作解释。	（a）平均数 = (12 + 15 + 15 + 18 + 20 + 22 + 22 + 22 + 27 + 27) ÷ 10 = 200 ÷ 10 = 20（3 分）。（b）共 10 个数据，中位数为第 5 及第 6 个数据的平均数 = (20 + 22) ÷ 2 = 21（3 分）。（c）众数为 22，因它出现 3 次，次数最多（2 分）。（d）中位数只取决于数据的排列位置，极端值（如 12 或 27）无论偏离多远都不会改变它的位置，故中位数最不受极端值影响（1 分）。
2	某班 40 名学生的测验分数整理成频数分布表：0–10 分有 4 人、10–20 分有 10 人、20–30 分有 16 人、30–40 分有 8 人、40–50 分有 2 人。（a）求总频数；（b）以组中点计算该班分数的估计平均数；（c）写出众数组；（d）指出估计平均数与真实平均数可能不同的其中一个原因。	（a）总频数 = 4 + 10 + 16 + 8 + 2 = 40（2 分）。（b）组中点依次为 5、15、25、35、45，总和 = 4×5 + 10×15 + 16×25 + 8×35 + 2×45 = 20 + 150 + 400 + 280 + 90 = 940；估计平均数 = 940 ÷ 40 = 23.5 分（4 分）。（c）众数组为 20–30 分，因该组频数 16 为最大（2 分）。（d）以组中点代替组内每个数据，忽略了组内分数的分布，故估计值与真实平均数有差异（1 分）。
3	沿用上题的频数分布表（0–10 分 4 人、10–20 分 10 人、20–30 分 16 人、30–40 分 8 人、40–50 分 2 人，共 40 人）。（a）写出中位数所在的组；（b）用插值法估计中位数；（c）写出该组的组距及组中点；（d）求估计中位数与估计平均数（23.5 分）之差。	（a）累积频数为 4、14、30、38、40，中位数为第 20 及第 21 个数据，两者都落在 15 至 30 之间，故中位数组为 20–30 分（2 分）。（b）中位数 = 20 + (20 − 14) ÷ 16 × 10 = 20 + 6 ÷ 16 × 10 = 23.75 分（3 分）。（c）组距 = 10 分，组中点 = (20 + 30) ÷ 2 = 25 分（2 分）。（d）估计中位数 − 估计平均数 = 23.75 − 23.5 = 0.25 分（1 分）。
4	某组 11 个数据依次为：3、5、5、7、8、9、12、14、15、18、21。（a）写出这组数据的五数概括；（b）求四分位距；（c）用 1.5 倍四分位距的规则，判断 21 是否离群值，并须列出计算；（d）在盒须图中，盒的阔度代表什么？	（a）最小值 3，下四分位数 5，中位数 9，上四分位数 15，最大值 21（3 分）。（b）四分位距 = 15 − 5 = 10（2 分）。（c）上限 = 15 + 1.5 × 10 = 30；21 小于 30，故 21 不是离群值（3 分）。（d）盒的阔度代表四分位距，即中间 50% 数据的分布范围（1 分）。

乙部　离差、标准差与数据比较

乙部：标准差答案保留三位有效数字，并须写出所用的公式。

#	题目	答案与评分要点
5	某组数据为：4、6、8、10、12。（a）求平均数；（b）求方差；（c）求标准差（三位有效数字）；（d）若每个数据同时加 5，标准差会怎样改变？	（a）平均数 = (4 + 6 + 8 + 10 + 12) ÷ 5 = 40 ÷ 5 = 8（2 分）。（b）方差 = [(4−8)² + (6−8)² + (8−8)² + (10−8)² + (12−8)²] ÷ 5 = (16 + 4 + 0 + 4 + 16) ÷ 5 = 8（3 分）。（c）标准差 = √8 ≈ 2.83（2 分）。（d）每个数据同时加 5，各数据与平均数的距离不变，故标准差不变（1 分）。
6	甲班数学测验的平均分为 60 分，标准差为 8 分；乙班的平均分为 65 分，标准差为 4 分。（a）解释标准差所量度的是什么；（b）甲班某学生得 76 分，求他的标准分；（c）乙班某学生得 73 分，求他的标准分；（d）比较两名学生在各自班内的相对表现；（e）若乙班的标准差为 0，代表什么？	（a）标准差量度各数据与平均数的平均偏离程度，数值越大表示数据越分散（2 分）。（b）甲班学生的标准分 = (76 − 60) ÷ 8 = 2.0（2 分）。（c）乙班学生的标准分 = (73 − 65) ÷ 4 = 2.0（2 分）。（d）两人的标准分同为 2.0，即两人在各自班内高出平均分的距离相同，相对表现相同（2 分）。（e）标准差为 0 表示全班的分数完全相同，没有离差（1 分）。
7	某组 7 个数据的平均数为 12。现加入一个新数据 28。（a）求加入新数据后的平均数；（b）中位数是否一定同时改变？试略作解释；（c）新一组数据的标准差会比原本大还是小？试略作解释。	（a）新总和 = 7 × 12 + 28 = 84 + 28 = 112，新平均数 = 112 ÷ 8 = 14（3 分）。（b）不一定；新数据 28 大于原本的平均数，会使平均数上升，但中位数只取决于排列位置，加入一个较大的数据后只会令部分位置后移，中位数可能不变或只略为上升（2 分）。（c）新标准差会较大；28 与新平均数 14 相距 14，远大于其他数据的偏离，令平均偏离程度增加（3 分）。
8	某校想调查中四学生每日温习时间。（a）指出两项会影响样本代表性的因素；（b）说明随机抽样的一项好处；（c）说明为何只用网上问卷收集数据可能出现偏差；（d）指出处理离群值的一种常见方法。	（a）样本的大小，以及抽样方法是否有偏差（例如只访问某一班或某些时段在图书馆的学生）（2 分）。（b）随机抽样令每名学生被抽中的机会相同，可减少选择偏差，使样本较能代表整体（2 分）。（c）网上问卷只覆盖有上网习惯及愿意回应的学生，这批学生的温习时间可能与其他人不同，造成自我选择偏差（2 分）。（d）可先检查该数据是否记录错误或输入错误，若确定为异常值可将其剔除，并在报告中说明；亦可同时报告含与不含该数据的结果（2 分）。

丙部　概率与期望值

丙部：概率可用分数或小数表示，小数答案保留三位有效数字；须写出样本空间或所用公式。

#	题目	答案与评分要点
9	一个袋中有 5 个红球、3 个蓝球及 2 个绿球，共 10 个球，除颜色外完全相同。（a）随机抽出一个球，求抽到红球的概率；（b）求抽到的球不是红球的概率；（c）连续抽出两个球，每次抽出后不放回，求两个都是红球的概率；（d）若每次抽出后放回，求两个都是红球的概率。	（a）P(红球) = 5 ÷ 10 = 0.5（2 分）。（b）P(不是红球) = 1 − 0.5 = 0.5，或 (3 + 2) ÷ 10 = 0.5（2 分）。（c）不放回时，P(两个都是红球) = (5 ÷ 10) × (4 ÷ 9) = 0.2222 = 2/9，约 0.222（2 分）。（d）放回时两次抽球互相独立，P(两个都是红球) = (5 ÷ 10) × (5 ÷ 10) = 0.25（2 分）。
10	同时掷两粒公平的骰子。（a）求两粒骰子点数之和为 7 的概率；（b）求两粒骰子点数相同的概率；（c）求点数之和为 7 或两粒点数相同的概率；（d）判断“点数之和为 7”与“两粒点数相同”这两个事件是否互斥，并加以解释。	（a）样本空间共 36 个结果，和为 7 的组合有 (1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1) 共 6 个，故概率 = 6/36 = 1/6 ≈ 0.167（2 分）。（b）两粒点数相同的组合有 (1,1) 至 (6,6) 共 6 个，概率 = 6/36 = 1/6 ≈ 0.167（2 分）。（c）两事件没有共同结果（和为 7 时两粒点数必不相同），故互斥，概率 = 1/6 + 1/6 = 1/3 ≈ 0.333（2 分）。（d）互斥，因为两粒骰子点数之和为 7 时，两粒点数必然不同，两个事件不可能同时发生（2 分）。
11	某班共有 40 名学生，其中男生 24 人、女生 16 人。男生中有 18 人测验合格，女生中有 10 人合格。（a）求随机选出一名学生而该生合格的概率；（b）已知选出的学生合格，求该生是男生的概率；（c）已知选出的学生是女生，求她合格的概率；（d）根据（a）与（c）的结果，判断性别与合格与否是否独立，并加以解释。	（a）合格人数 = 18 + 10 = 28，P(合格) = 28 ÷ 40 = 0.7（2 分）。（b）P(男生 \| 合格) = 18 ÷ 28 = 9/14 ≈ 0.643（2 分）。（c）P(合格 \| 女生) = 10 ÷ 16 = 0.625（2 分）。（d）因为 P(合格) = 0.70 与 P(合格 \| 女生) = 0.625 不相等，所以性别与合格与否并不独立（2 分）。
12	某游戏从上述袋中（5 红、3 蓝、2 绿）随机抽出一个球：抽到红球可得 20 元，抽到蓝球可得 5 元，抽到绿球须付 10 元。（a）求玩一次游戏可得金额的期望值；（b）若每次游戏收费 12 元，求玩家的净期望值；（c）说明主办单位长远而言是否有利可图；（d）若要使游戏公平，每次应收费多少？	（a）E = 0.5 × 20 + 0.3 × 5 + 0.2 × (−10) = 10 + 1.5 − 2 = 9.5 元（3 分）。（b）净期望值 = 9.5 − 12 = −2.5 元（2 分）。（c）玩家的净期望值为负，即每位玩家平均每次输 2.5 元，故主办单位长远有利可图（2 分）。（d）公平游戏的收费应等于期望所得，即 9.5 元（1 分）。

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