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中五数学延伸部分单元二练习卷：归纳法、二项式定理、数列极限、微分与积分（100 分）
练习卷 · 数学延伸部分单元二 归纳法与微积分
中五数学延伸部分单元二练习卷：全卷 6 题 21 部分、100 分、60 分钟，涵盖数学归纳法证明与整除性、二项式定理求指定项与常数项、数列极限、无穷等比级数求和、连锁律与乘积法则求导、切线方程、局部极值与二阶导数判别法，以及定积分求面积与代换积分，每题附评分要点。
卷面资料 年级：S5 ｜ 科目：数学延伸部分单元二 ｜ 时限：60 分钟 ｜ 总分：100 分 ｜ 题数：21
甲部 数学归纳法
本部分共 3 题，合计 16 分，全部须作答。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | 用数学归纳法证明：对所有正整数 n，1² + 2² + 3² + … + n² = n(n+1)(2n+1)/6。 | 答案：当 n = 1，左边 = 1、右边 = 1×2×3/6 = 1，基础步成立。假设 n = k 时成立，即前 k 项平方和 = k(k+1)(2k+1)/6；则 n = k+1 时，和 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)² = (k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)]/6 = (k+1)(2k² + 7k + 6)/6 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6，正是 n = k+1 的形式。由数学归纳法原理，命题对所有正整数成立。（评分：基础步 2 分、归纳假设 2 分、代数整理 2 分、结论 2 分） |
| 2 | 利用 (a) 的结果，求 1² + 2² + … + 20² 的值。 | 答案：前 20 项平方和 = 20×21×41/6 = 17220/6 = 2870。（评分：代入公式 2 分、数值 2 分） |
| 3 | 用数学归纳法证明：对所有正整数 n，3^(2n) − 1 可被 8 整除。 | 答案：n = 1 时 3² − 1 = 8，可被 8 整除。假设 n = k 时成立，即 3^(2k) − 1 = 8m；则 n = k+1 时，3^(2k+2) − 1 = 9×3^(2k) − 1 = 9(8m + 1) − 1 = 72m + 8 = 8(9m + 1)，仍可被 8 整除。由归纳法原理，命题对所有正整数成立。（评分：基础步 1 分、归纳步 2 分、结论 1 分） |
乙部 二项式定理
本部分共 3 题，合计 18 分，全部须作答。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 4 | 展开 (2x − 3)^5，并写出 x³ 项与常数项。 | 答案：一般项为 C(5,r)(2x)^r(−3)^(5−r)。r = 3 时得 C(5,3)×2³×(−3)² = 10×8×9 = 720，即 720x³；r = 0 时常数项 = (−3)^5 = −243。故 (2x − 3)^5 = 32x^5 − 240x^4 + 720x^3 − 1080x^2 + 810x − 243。（评分：一般项 2 分、x³ 项 2 分、常数项 1 分、完整展开 1 分） |
| 5 | 求 (x² + 2/x)^9 展开式中独立于 x 的项。 | 答案：一般项 = C(9,r)(x²)^(9−r)(2/x)^r = C(9,r)2^r x^(18−3r)。令 18 − 3r = 0 得 r = 6，故该项 = C(9,6)×2^6 = 84×64 = 5376。（评分：一般项 2 分、定出 r 2 分、数值 2 分） |
| 6 | 求 (1 + x)^6 (1 − x)^6 展开式中 x⁴ 项。 | 答案：(1 + x)^6(1 − x)^6 = (1 − x²)^6，一般项为 C(6,r)(−x²)^r。x⁴ 对应 r = 2，故该项 = C(6,2)(−1)²x⁴ = 15x⁴。（评分：化简为单一二项式 2 分、定出 r 2 分、x⁴ 项 2 分） |
丙部 数列极限与无穷级数
本部分共 4 题，合计 16 分，全部须作答。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 7 | 求 lim(n→∞) (3n² + 2n − 1)/(2n² − 5)。 | 答案：分子分母同除以 n²，得 (3 + 2/n − 1/n²)/(2 − 5/n²)。当 n 趋向无穷，2/n 与 1/n²、5/n² 均趋向 0，故极限 = 3/2。（评分：同除 n² 2 分、极限值 2 分） |
| 8 | 求 lim(n→∞) (√(n² + 4n) − n)。 | 答案：分子分母同乘共轭式 √(n²+4n) + n，得 4n/(√(n²+4n) + n)，再上下同除 n 得 4/(√(1 + 4/n) + 1)。当 n 趋向无穷，该式趋向 4/(1 + 1) = 2。（评分：共轭处理 2 分、化简与极限 2 分） |
| 9 | 求无穷级数 Σ(r=1 至 ∞) (3/4)^r 的和。 | 答案：首项 a = 3/4、公比 r = 3/4，公比的绝对值少于 1，故级数收敛，和 = a/(1 − r) = (3/4)/(1/4) = 3。（评分：辨认等比 2 分、求和公式与结果 2 分） |
| 10 | 求无穷级数 Σ(r=1 至 ∞) r/2^r 的和。 | 答案：设 S = Σ r/2^r，则 S − S/2 = Σ (r − (r − 1))/2^r = Σ 1/2^r = 1，故 S/2 = 1、S = 2。（评分：错位相减 2 分、等比求和与结果 2 分） |
丁部 微分技巧
本部分共 4 题，合计 18 分，全部须作答。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 11 | 设 y = (3x² − 5x + 2)^4，求 dy/dx 在 x = 2 时的值。 | 答案：由连锁律，dy/dx = 4(3x² − 5x + 2)³(6x − 5)。x = 2 时内层 = 12 − 10 + 2 = 4，4³ = 64，6x − 5 = 7，故 dy/dx = 4×64×7 = 1792。（评分：连锁律 2 分、代入内层 1 分、数值 2 分） |
| 12 | 设 y = x² ln x，求 dy/dx 在 x = e 时的值。 | 答案：由乘积法则，dy/dx = 2x ln x + x²(1/x) = 2x ln x + x。x = e 时 ln e = 1，故 dy/dx = 2e + e = 3e，约为 8.15。（评分：乘积法则 2 分、化简 1 分、数值 1 分） |
| 13 | 设 y = e^(2x) cos 3x，求 dy/dx，并求 x = 0 时的值。 | 答案：由乘积法则与连锁律，dy/dx = 2e^(2x)cos 3x − 3e^(2x)sin 3x = e^(2x)(2cos 3x − 3sin 3x)。x = 0 时 cos 0 = 1、sin 0 = 0，故 dy/dx = 1×(2 − 0) = 2。（评分：乘积法则 2 分、两个导数项各 1 分、x = 0 的值 1 分） |
| 14 | 求曲线 y = x³ − 4x 在 x = 2 处的切线方程。 | 答案：dy/dx = 3x² − 4，x = 2 时斜率 = 12 − 4 = 8；切点 y 坐标 = 8 − 8 = 0，即 (2, 0)。切线方程为 y = 8(x − 2)，化简得 y = 8x − 16。（评分：斜率 2 分、切点 1 分、方程 1 分） |
戊部 微分应用
本部分共 3 题，合计 16 分，全部须作答。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 15 | 设 f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1，求 f 的局部极大值与局部极小值。 | 答案：f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3)，驻点为 x = 1 与 x = 3。f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5，f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1。故局部极大值为 5、局部极小值为 1。（评分：求导 2 分、驻点 2 分、两个极值各 1 分） |
| 16 | 一个长方形的周界为 40 cm，求它的最大面积。 | 答案：设长为 x，则阔为 20 − x，面积 A = x(20 − x) = 20x − x²。A′ = 20 − 2x，令 A′ = 0 得 x = 10；A″ = −2 少于 0，故为极大。最大面积 = 10×10 = 100 cm²。（评分：面积函数 2 分、求导与驻点 2 分、判别与结果 1 分） |
| 17 | 承 (a)，用二阶导数判别法说明 x = 1 与 x = 3 分别为极大点还是极小点。 | 答案：f″(x) = 6x − 12。f″(1) = −6，少于 0，故 x = 1 为极大点；f″(3) = 6，大于 0，故 x = 3 为极小点。（评分：二阶导数 2 分、两次判别共 3 分） |
己部 积分与面积
本部分共 4 题，合计 16 分，全部须作答。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 18 | 求定积分 ∫(0 至 2) (3x² + 2x) dx。 | 答案：原函数为 x³ + x²，代入上下限得 (2³ + 2²) − (0 + 0) = 8 + 4 = 12。（评分：原函数 3 分、代入计算 2 分） |
| 19 | 求定积分 ∫(1 至 4) x^(−1/2) dx。 | 答案：x^(−1/2) 的原函数为 2x^(1/2)，即 2√x；代入得 2×2 − 2×1 = 4 − 2 = 2。（评分：原函数 2 分、数值 1 分） |
| 20 | 求曲线 y = 4 − x² 与 x 轴所围成的区域面积。 | 答案：令 4 − x² = 0 得 x = ±2。面积 = ∫(−2 至 2) (4 − x²) dx = [4x − x³/3] 由 −2 到 2 = (8 − 8/3) − (−8 + 8/3) = 32/3，约为 10.67。（评分：交点 1 分、积分式 1 分、计算 2 分） |
| 21 | 求不定积分 ∫ x e^(x²) dx。 | 答案：令 u = x²，则 du = 2x dx，故 ∫ x e^(x²) dx = (1/2)∫ e^u du = (1/2)e^(x²) + C。（评分：代换 2 分、原函数 1 分、常数 C 1 分） |
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